UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.2 – Questão 2
Seja uma função. Explique primitiva, primitiva geral e integral indefinida usando e .
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
O problema nos disse que é uma função qualquer, então sua derivada é :
Vamos primeiro lembrar de alguns conceitos: primitiva é uma função que originou uma certa derivada. Por exemplo, a função dá origem à derivada de , então isso significa que é a primitiva de
Mas não é só que ao derivar vamos obter ! O polinômio , quando derivado, também resulta em (já que derivada de constante é zero)
E aqui está o conceito de : é uma família de funções cuja derivada é a mesma! Como derivada de constante é zero, a família de primitivas para é
Onde é uma constante qualquer
Passo 2
No nosso caso, é uma função e é a derivada dessa função. Então é como se e fosse .
Então temos que é a primitiva de , tranquilo até aqui?
Passo 3
E o que tem a ver integral indefinida? A integral indefinida de uma função pode ser vista como a família de primitivas de uma função! Colocamos então a função no integrando e o resultado dessa integral é a função (sua primitiva):
E como vimos no passo anterior, não há apenas uma primitiva, mas sim uma família de primitivas que estão associadas a mesma derivada, então podemos colocar um do lado esquerdo da igualdade:
Beleza?
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?