11) Classifique o(s) ponto(s) singular(es) da equação abaixo

1 - x 2 2 y ' ' + x 1 - x y ' + 1 + x y = 0

a) x = - 1 é um ponto singular...

b) x = 1 é um ponto singular...

Passo 1

Falaaaa galera... Beleza?

Nessa questão vamos classificar os pontos singulares da equação

x 2 1 - x 2 y ' ' + x 1 - x y ' + 1 + x y =

E pra isso precisamos lembrar que, pra uma equação da forma

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Dizemos que o ponto x 0 é singular regular se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P x

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R x P x

Existem e são finitos.

Passo 2

Para a letra a vamos verificar se esses limites existem e são finitos. Com x 0 = 0 , ��   P x = x 2 1 - x 2 , Q x = x 1 - x e R x = 1 + x :

lim x → - 1 ⁡ x - - 1 x ( 1 - x ) x 2 1 - x 2 = lim x → - 1 ⁡ x ( x + 1 ) 1 - x x 2 1 - x 2 = - 1

lim x → - 1 ⁡ x - - 1 2 ( 1 + x ) x 2 1 - x 2 = lim x → - 1 ⁡ x + 1 3 x 2 1 - x 2 = 0

Como os dois limites existem e são finitos, então x 0 = - 1 é um ponto singular regular.

Passo 3

Para a letra b vamos verificar se esses limites existem e são finitos. Com x 0 = 1 ,     P x = x 2 1 - x 2 , Q x = x 1 - x e R x = ( 1 + x ) :

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 1 + x x 2 1 - x 2 = lim x → 1 ⁡ x ( x - 1 ) ( x + 1 ) x 2 1 - x 2 = - 1

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 1 + x x 2 1 - x 2 = lim x → 1 ⁡ 1 + x ( x - 1 ) 2 x 2 1 - x 2 = - ∞

Como um dos limites diverge e vai pra infinito, então o ponto x 0 = 1 é um ponto singular irregular.

Matamos mais uma. Bora pra próxima?

Resposta

a) regular

b) irregular

Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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