UFRJ, Cálculo 4, P1-2019.1, Questão 3
Considere a equação diferencial ordinária:
- Demonstre que x=0 é um ponto singular regular dessa equação.
- Determine as raízes da equação indicial da equação diferencial.
- Determine a relação de recorrência para os coeficientes da série de potência em torno de x=0 da solução y(x) que corresponde à maior das duas raízes da equação indicial.
Passo 1
Letra a)
De acordo com a teoria, um ponto é singular quando . Então vamos ver quem é esse nosso
A equação geral da EDO Linear homogênea é essa daqui:
Vamos comparar nossa equação com a geral:
Nós teremos:
Pro nosso o nosso tem que ser 0, logo:
Então esse ponto que a questão nos sugeriu é um ponto singular.
Passo 2
Agora vamos ver se ele é regular ou não:
Pra ser regular temos que esses dois limites devem existir e serem finitos:
Como o nosso , ficamos com:
Calculando o limite de
Como ambos limites existem e são finitos, dizemos que é um ponto singular e regular.
Passo 3
Letra b)
A equação inicial é dada por:
onde
Assim, nossa equação fica:
Pra resolver essa equação:
Passo 4
Letra c)
Então, vamos encontrar a solução em série dessa equação aqui:
De acordo com a nossa teoria:
Tomando a maior raiz achada no item anterior, teremos:
Se essa série é solução, então ela satisfaz a nossa EDO. Logo, precisamos substituí-la e buscarmos a relação que encontre os termos (a nossa relação de recorrência). Para isso, vamos ter que calcular as derivadas de y:
Substituindo na EDO:
Simplificando, passando o x para dentro do somatório:
Agora vamos juntar o que tem a mesma potência no x:
Vamos colocar todo mundo no mesmo expoente, fazendo:
Quando ,
Juntando os dois somatórios, ficamos com:
Nós devemos ter:
Para ;
Resposta
Letra a) é um ponto singular regular.
Letra b)
Letra c) para ;