Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

Ver Teoria
Exercício 431234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424445

Enunciado

Use o teorema de Frobenius para determinar soluções da seguinte equação linear homogênea ao redor dos seus pontos singulares regulares:

2 x 2 y ' ' - x y ' + x + 1 y = 0

Passo 1

A primeira coisa a fazer é identificar o ponto singular regular, para isso primeiro vemos quais são os pontos singulares, repare que

P x = 2 x 2

Q x = - x

R x = x + 1

E P x = 0 só para x = 0 , esse é o único ponto singular, vamos testar agora se ele é regular fazendo os limites

lim x → 0 ⁡ x - 0 - x 2 x 2 = lim x → 0 ⁡ - 1 2 = - 1 2

lim x → 0 ⁡ x - 0 2 x + 1 2 x 2 = lim x → 0 ⁡ x + 1 2 = 1 2

Então ele é um ponto singular regular.

Passo 2

Agora fazemos

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r

y ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1

y ' ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 2

E substituímos na Edo

2 x 2 ∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 2 - x ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 + x + 1 ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

∑ n = 0 ∞ 2 n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r + ∑ n = 0 ∞ a n x n + r + 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

Passo 3

Vamos deixá-los com a mesma potência de x , nesse caso, x n + r .

∑ n = 0 ∞ a n x n + r + 1 = ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r

Vamos ter então

∑ n = 0 ∞ 2 n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r + ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r + ∑ n = 0 �� a n x n + r = 0

Juntando os somatórios que começam em n = 0 , vamos ter

∑ n = 0 ∞ 2 n + r n + r - 1 - n + r + 1 a n x n + r + ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r = 0

Passo 4

Vamos andar todo mundo uma unidade para que todos comecem no mesmo ponto, assim vamos ter:

∑ n = 0 ∞ 2 n + r n + r - 1 - n + r + 1 a n x n + r = 2 r r - 1 - r + 1 a 0 x r + 2 r + 1 r - r - 1 + 1 a 1 x r + 1 + ∑ n = 0 ∞ 2 n + r n + r - 1 - n + r + 1 a n x n + r

Vamos agora resolver a equação indicial

2 r r - 1 - r + 1 a 0 = 0

Como a 0 ≠ 0

2 r r - 1 - r + 1 = 0

2 r 2 - 2 r - r + 1 = 0

2 r 2 - 3 r + 1 = 0

r 1 = 1

r 2 = 1 2

Passo 5

Vamos, então, juntar os somatórios, colocando o x n + r em evidência

2 n + r n + r - 1 - n + r + 1 a n + a n - 1 = 0

Vamos encontrar a relação de recorrência

2 n + r n + r - 1 - n + r + 1 a n + a n - 1 = 0

2 n + r n + r - 1 - n - r + 1 a n = - a n - 1

2 n + r n + r - 1 - n + r - 1 a n = - a n - 1

n + r - 1 2 n + r - 1 a n = - a n - 1

n + r 2 n + 2 r - 1 a n = - a n - 1

n + r - 1 2 n + 2 r - 1 a n = - a n - 1

a n = - a n - 1 n + r - 1 2 n + 2 r - 1

Passo 6

Vamos achar a solução para o primeiro valor de r ,

r 1 = 1

a n = - a n - 1 n 2 n + 1

para   n = 1       →       a 1 = - a 0 1.3                                                  

para   n = 2       →         a 2 = - a 1 2.5       →       a 2 = a 0 5.3 . 2.1

para   n = 3       →       a 3 = - a 2 3.7       →       a 3 = - a 0 7.5 . 3 3.2 . 1

Repara que vamos ter

a n = - 1 n 1.2 . 3.4 … n 3.5 . 7 … 2 n + 1 a 0 = - 1 n n ! 1.3 . 5.7 … 2 n + 1 a 0

Podemos dar uma leve arrumada, repara que se multiplicarmos em baixo por 2.4 . 6.8 … 2 n vamos completar o fatorial de 2 n ! , além disso

2.4 . 6.8 … 2 n = 2 n n !

Multiplicando em cima e embaixo

a n = - 1 n 2 n n ! n ! 1.3 . 5.7 … 2 n + 1 2 n n ! a 0 = - 1 n 2 n n ! n ! 2 n + 1 ! a 0

a n = - 1 n 2 n 2 n + 1 ! a 0

Passo 7

Lembrando que r = 1 e

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1

Vamos ter

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 x + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n 2 n + 1 ! a 0 x n + 1

Podemos arrumar essa solução, repare que se começarmos cada somatório ali em n = 0 , teremos exatamente o a 0

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n 2 n + 1 ! a 0 x n + 1

Podemos tirar a 0 porque queremos a solução para depois multiplicar por uma constante.

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 2 n 2 n + 1 ! x n + 1

Passo 8

Vamos achar a solução para o segundo valor de r ,

r 2 = 1 2

a n = - a n - 1 n - 1 2 2 n

a n = - a n - 1 n 2 n - 1

para   n = 1       →       a 1 = - a 0 1.1                                                  

para   n = 2       →         a 2 = - a 1 2.3       →       a 2 = a 0 3.1 . 2.1

para   n = 3       →       a 3 = - a 2 3.5       →       a 3 = - a 0 5.3 . 1 3.2 . 1

Repara que vamos ter

a n = - 1 n 1.2 . 3.4 … n 1.3 . 5.7 … 2 n - 1 a 0 = - 1 n n ! 1.3 . 5.7 … 2 n - 1 a 0

Podemos dar uma leve arrumada, repara que se multiplicarmos em baixo por 2.4 . 6.8 … 2 n vamos completar o fatorial de 2 n ! , além disso

2.4 . 6.8 … 2 n = 2 n n !

Multiplicando em cima e embaixo

a n = - 1 n 2 n n ! n ! 2 n !   a 0 = - 1 n 2 n 2 n ! a 0

a n = - 1 n 2 n 2 n ! a 0

Passo 9

Vamos ter (lembrando que r = 1 / 2 )

y 2 x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 / 2 = a 0 x 1 / 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n 2 n ! a 0 x n + 1 / 2

Podemos arrumar essa solução, repare que se começarmos cada somatório ali em n = 0 , teremos exatamente o a 0

y 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n 2 n ! a 0 x n + 1 / 2

Podemos tirar a 0 porque queremos a solução para depois multiplicar por uma constante.

y 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n 2 n ! x n + 1 / 2

Passo 10

A solução da EDO vai ser

y x = C 1 y 1 x + C 2 y 2 x

y x = C 1 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n 2 n + 1 ! x n + 1 + C 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n 2 n ! x n + 1 / 2

Resposta

y x = C 1 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n 2 n + 1 ! x n + 1 + C 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n 2 n ! x n + 1 / 2

Exercícios de Livros Relacionados

Os polinômios de Legendre têm um papel importante em física matemática. Por exemplo, aoresolver a equação de Laplace (equação do potencial) em coordenadas esféricas, encontramosa equação d 2 F φ d φ 2
Pode-se mostrar que a fórmula geral para P n ( x ) é P n x = 1 2 n ∑ k = 0 n 2 - 1 k 2 n - 2 k ! k ! n - k ! n - 2 k ! x n - 2 k em que n 2 denota o piso de n / 2 , ou seja, o maior inteiro menor ou i
Em cada um dos problemas de 1 a 10:(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x=0 .(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação ind
O polinômio de Legendre P n ( x ) é definido como a solução polinomial da equação de Legendrecom α=n que satisfaz, também, a condição P n ( 1 )=1 .a) Usando os resultados do Problema 23, encontre os p
Com referência ao Problema 14, use o método de redução de ordem para mostrar que a segunda solução da equação de Bessel de ordem zero contém um termo logarítmico. Sugestão: Se y 2 ( x ) = J 0 ( x ) v