Considere a seguinte equação diferencial ordinária:
a) Mostre que é um ponto singular regular.
b) Determine as raízes da equação indicial em torno do ponto .
c) Seja a solução dada em série de potências, em torno de , correspondente à maior raiz da equação indicial. Determine a relação de recorrência dos coeficientes dessa solução.
Passo 1
Letra a)
precisamos verificar se o ponto é singular. Temos, nesse caso:
Mas temos que
Logo, é singular.
Assim podemos escrever:
Como as função são analíticas em , temos que esse ponto é singular da equação.
Passo 2
Letra b)
Bem, para achar a equação indicial, vamos considerar a solução:
Ao derivar, lembre-se que o índice não muda:
Show? Vamos substituir na EDO agora!
Jogando o para dentro do somatório:
Para deixar o último somatório no formato , fazemos , ficando:
Vamos agora acertar os índices, deixando tudo em . Para tal, tiramos os primeiros termos dos primeiros dois somatórios:
A nossa equação indicial está à esquerda!
Para calcular as raízes, vamos igualar o primeiro termo a zero:
As raízes então serão:
Logo as raízes são: e .
Passo 3
c)
Esse item é um pouco mais trabalhoso, mas fazendo passo a passo fica tranquilo. Assim, tomando a maior raiz, temos:
Fazendo essas substituições na EDO, temos:
Colocando o para dentro dos somatórios:
Precisamos, agora, igualar as potências de por . Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice .
Temos, então:
Passo 4
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Assim, temos que:
Resposta
e