Considere a seguinte equação de Chebyshev.
- Mostre que 1 é ponto singular regular de essa equação.
- Determine as raízes da equação indicial dessa equação.
- Determine a relação de recorrência da solução em série de essa equação que corresponde à maior das duas raízes encontradas no item b).
Passo 1
a)
Temos:
Para determinar se é ponto singular regular, calculamos os limites:
Pronto! Como esses limites existem, podemos chamar o ponto de singular regular.
Passo 2
b)
Agora fazemos:
Para incluir, e precisamos coloca-las como potências de .
Saca só a mágica agora!
E substituímos essas “””belezinhas””” na EDO
Passo 3
Multiplicando todos esses negócios aí, ficamos com
Agora é só ajeitar juntando os somatórios com mesma potência de e botando o que der em evidência
Dando uma ajeitada nesses caras
Agora ficou show!
Passo 4
Agora temos que trabalhar no primeiro somatório pra ter todos somatórios com . É só fazer , assim
Que fica ao voltar pra letra
E podemos dividir esse somatório em
E na nossa EDO
E finalmente!!!!
Passo 5
Vamos resolver a equação indicial! Para
As raízes desta equação são: e .
Passo 6
Vamos encontrar a relação de recorrência.
Passo 7
c)
Para a maior raiz, substituindo na relação de recorrência.
Obs: No gabarito do IM aparece uma resposta aparentemente diferente, mas é por que a nossa tá mais organizadinha 😉
Resposta
b)
As raízes desta equação são: e .
c)