Considere a equação diferencial

a) Mostre que é ponto singular desta equação diferencial

b)Determine a relação de recorrência, a equação indicial e suas raízes

c)Determine a solução em série de Frobenius em torno de , correspondente a maior raiz da equação indicial. Determine a expressão do termo geral desta solução.

d)Qual é o raio mínimo de convergência da série de potências da solução em c) ?

b) Determine a relação de recorrência, a equação indicial e suas raízes

Para fazer isso, vamos ter que utilizar aquela solução proposta pelo Frobenius(Que na realidade é uma aplicação da equação de Euler-Cauchy na teoria de séries!)

Derivando duas vezes:

OBS: Repara que a gente não aumenta o número inicial do somatório para essa série!! Ela começa em 0!! O motivo disso é porque nas outras séries de potência o menor termo é uma constante, nessa série o menor termo tem potência de , logo ele não se anula quando derivamos!

Substituindo isso na EDO:

Ajeitando os somatórios:

Bem, quase todos os somatórios tem como expoente e todos tem o somatório começando em , o que temos que fazer aqui é ajeitar o único que está diferente:

Bem, a gente começa ajeitando para ficar no mesmo índice! Então é só tomar , substituindo isso no somatório o índice da potência vai ficar certo:

Mas calma, agora o somatório começa em , os outros começam em ! Não tem jeito, vamos ter que arrumar os outros somatório forçando eles a começar em , isso é só abrir abrir o somatório galera, vamos lá:

Vamos ver o outro somatório

Ok, temos os 3 somatórios começando na mesma potência e iniciando no mesmo índice! Tudo certo! Vamos voltar então a equação, é só substituir esses 3 somatórios que calculamos agora:

Vamos juntar tudo o que temos na mesma potência:

Beleza!!Chegamos lá, agora vamos com calma, a equação indicial representa sempre a equação que você tem que satisfazer calculando o valor do , ela é vista sempre como a função que multiplica o termo com menor potência, ou seja, . Em suma, sempre olha quem tá multiplicando ! Vamos lá:

A gente sabe que isso tem que dar , não só isso como todos os outros termos da equação, ou é solução trivial, logo:

Vamos calcular as raízes?

Então , logo , assim só existe uma solução, lembra disso? É importante! E a solução é dada pela maior raiz, no caso tanto faz porque elas são iguais! Para ter duas soluções a diferença entre a maior raiz e a menor raiz tem que dá um não inteiro maior que zero! A solução é:

No caso vamos chamar porque só tem uma raiz mesmo, mas de qualquer forma, sempre resolva em função de um geral. Quando você chegar na relação de recorrência aí sim você substitui, ok? Mas calma, na equação a gente tem esse cara ainda, antes da série:

Pela mesma análise, isso tem que dar , assim:

Xi, mas a gente já tem as raízes determinadas, sabemos que , nossa conclusão é que:

Vamos para a relação de recorrência, que se obtém só igualando o coeficiente da série a :

Não esquece que a somatório começa em 2 hein! Por isso é para , agora substituindo :

Bem, ele pediu a relação de recorrência, a equação indicial e as raízes da equação, demos tudo que ele pediu! Fechou essa letra

c)Determine a solução em série de Frobenius em torno de , correspondente a maior raiz da equação indicial. Determine a expressão do termo geral desta solução.

A gente já estava a caminho disso! Encontramos até agora a cara de uma solução:

Onde tem a seguinte relação de recorrência:

E não esqueça!!!! Vimos que

Então com relação aos termos pares da série, vemos que:

Podemos colocar tudo elevado ao quadrado em evidência:

O denominador ficou então com um fatorial de pares, que podemos escrever como:

Assim a relação de recorrência ficou:

E vemos que os ímpares dão sempre , assim:

Ok ok, vamos voltar a solução geral:

Vimos que somente os termos pares da série entram nisso, os ímpares dão zero, logo ela fica com a cara:

Substituindo esse , mas opa, o somatório começa em , não em , então a gente abre ele:

Agora sim, substituímos:

Se quiser você pode colocar em evidência como fizemos na teoria, e tratar ele como , porque é só uma constante e de qualquer forma a solução geral é dada pela combinação linear dessa com outra solução linearmente independente, e essa combinação linear implicaria em ter constantes multiplicando e , que seriam determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

E tcharã! Ufa! A expressão do termo geral dessa solução seria a que a gente colocou agora em cima, mas perceba que essa não é a solução geral! E nem temos a solução geral, porque a gente precisaria de outra solução linearmente independente dessa, e não temos! Isso por causa da diferença entre e ! Implicou que só saberíamos uma solução por esse método.

d)Qual é o raio mínimo de convergência da série de potências da solução em c) ?

Hmmm, então ele quer saber o raio de convergência dessa série, isso é ponto singular, não ordinário, então não sabemos o raio mínimo de convergência da série como era no ordinário, vamos ver a cara da série:

Partiu fazer um teste da razão e ver para que intervalo ele dá menor que :

Deu pra cortar muita coisa já, vamos ajeitar isso daí:

Dá pra cortar os fatoriais também, pois

Assim fica:

Sabemos que dá pois , daí a gente conclui que ela é menor que 1 para todo , então o raio de convergência é infinito: