10) Classifique o(s) ponto(s) singular(es) da equação abaixo

x 2 1 - x y ' ' + x - 2 y ' + 3 x y = 0

a) x = 0 é um ponto singular...

b) x = 1 é um ponto singular...

Passo 1

Falaaaa galera... Beleza?

Nessa questão vamos classificar os pontos singulares da equação

x 2 1 - x y ' ' + x - 2 y ' + 3 x y = 0

E pra isso precisamos lembrar que, pra uma equação da forma

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Dizemos que o ponto x 0 é singular regular se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P x

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R x P x

Existem e são finitos.

Passo 2

Para a letra a vamos verificar se esses limites existem e são finitos. Com x 0 = 0 ,     P x = x 2 1 - x , Q x = x - 2 e R x = 3 x :

lim x → 0 ⁡ x - 0 x - 2 x 2 1 - x = lim x → 0 ⁡ x x - 2 x 2 ( 1 - x ) = ∞

lim x → 0 ⁡ x - 0 2 3 x x 2 ( 1 - x ) = lim x → 0 ⁡ 3 x 2 x 2 ( 1 - x ) = 3

Como um dos limites diverge e vai pra infinito, então o ponto x 0 = 0 é um ponto singular irregular.

Passo 3

Para a letra b vamos verificar se esses limites existem e são finitos. Com x 0 = 1 ,     P x = x 2 ( 1 - x ) , Q x = x - 2 e R x = 3 x :

lim x → 1 ⁡ x - 1 ( x - 2 ) x 2 ( 1 - x ) = lim x → 1 ⁡ 1 - x 2 x 2 ( 1 - x ) = 1

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 3 x x 2 ( 1 - x ) = lim x → 1 ⁡ 3 x ( x - 1 ) 2 x 2 ( 1 - x ) = 0

Como os dois limites existem e são finitos, então x 0 = 1 é um ponto singular regular.

Matamos mais uma. Bora pra próxima?

Resposta

a) irregular

b) regular

Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados

Os polinômios de Legendre têm um papel importante em física matemática. Por exemplo, aoresolver a equação de Laplace (equação do potencial) em coordenadas esféricas, encontramosa equação d 2 F φ d φ 2
Pode-se mostrar que a fórmula geral para P n ( x ) é P n x = 1 2 n ∑ k = 0 n 2 - 1 k 2 n - 2 k ! k ! n - k ! n - 2 k ! x n - 2 k em que n 2 denota o piso de n / 2 , ou seja, o maior inteiro menor ou i
Em cada um dos problemas de 1 a 10:(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x=0 .(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação ind
O polinômio de Legendre P n ( x ) é definido como a solução polinomial da equação de Legendrecom α=n que satisfaz, também, a condição P n ( 1 )=1 .a) Usando os resultados do Problema 23, encontre os p
Com referência ao Problema 14, use o método de redução de ordem para mostrar que a segunda solução da equação de Bessel de ordem zero contém um termo logarítmico. Sugestão: Se y 2 ( x ) = J 0 ( x ) v