Solução de EDO – ponto singular
Considere a equação
Justifique que as funções
são analíticas em e conclua que é ponto ordinário.
Mostre que os raios de convergência das séries de Taylor de e em torno de é igual a .
Mostre que não é um ponto ordinário mas é um ponto singular regular.
Determine a equação indicial em , calcule suas raízes, e dê a forma de duas soluções linearmente independentes em série de Frobenius, em torno de .
Passo 1
Ambas as funções são racionais e seus denominadores só se anulam em , isto é, não se anulam em . Logo, e são analíticas em .
Por definição, verificamos que é de fato um ponto ordinário da equação.
Passo 2
Pela teoria, quando temos uma função racional com denominador não se anulando em , a série de potências em torno de tem raio de convergência igual a menor distância de às raízes do denominador.
Como a única raiz do denominador é , temos que os raios de convergência são iguais em ambos os casos e .
Passo 3
A equação pode ser reescrita assim:
E como é o único ponto que anula o termo , ele é um ponto singular.
Passo 4
Agora, vemos o seguinte:
Como ambas as funções acima são analíticas em todos os pontos, concluímos que é um ponto singular regular.
Passo 5
A equação indicial é dada por
onde
Assim, obtemos:
E as soluções:
Passo 6
Desta forma, as soluções linearmente independentes são dadas por
ou
Para :
ou
Resposta
; .