UFRJ. Cálculo 4. P1. 2022.1. Questão 3.
Considere a equação diferencial
(a) Mostre que é ponto singular regular dessa equação.
(b) Calcule as raízes da equação indicial da equação.
(c) Obtenha a relação de recorrência da solução em série associada à maior das duas raízes encontradas no item (b) e calcule todos os coeficientes com índice ímpar.
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão foi dada uma EDO descrita por
No item a) temos que mostrar que o ponto em é um ponto singular regular. Pra isso a gente usa um método que consiste em calcular
Se esses limites existirem e forem finitos, o ponto é um ponto singular regular.
No item b) vamos calcular as raízes da solução indicial da EDO que é dada por
E por fim, no item c), temos que obter a relação de recorrência associadas a maior das duas raízes obtidas no item b) e calcular os coeficientes dos índices impares.
E aí. Preparado? 😎
Bora lá!
Passo 2
Uma EDO homogênea é dada por
Comparando com a nossa EDO, vemos que
Com isso, os limites que vimos no passo 1, para é
Como , esse limite vai ser , ou seja, satisfaz nossa condição.
Para a outro limite
Simplificando nosso limite
Substituindo por , temos
Logo esse limite também satisfaz nossa condição!
Ou seja, o ponto em é um ponto singular regular!
Entendeu? 😁
Passo 3
Agora vamos obter as raízes da solução indicial da nossa EDO, vimos no passo 1 que a equação indicial é dada por
Onde
Ou seja
Já que
Logo, nossa equação indicial é
Calculando as raízes dessa equação, vamos obter
Interessante, não é? 🤩
Passo 4
Por último, vamos obter a relação de recorrência para a maior raiz , ou seja, para
A relação de recorrência vai ser obtida substituindo a solução para este tipo de problema
Temos que calcular e .
Derivando pelo método de derivação polinomial.
Substituindo na EDO
Simplificando essa equação, vamos obter
Temos que ter todos os elevados à mesma potência, então vamos transladar o do segundo somatório para
Pra juntar os somatórios, temos que ter os mesmos índices de início e fim do somatório.
Com isso, vamos escrever os primeiros dois termos dos outros somatórios
Juntando os somatórios em um só, temos
Equação gigante, não é?
Passo 5
Para essa equação ser satisfeita deve ser igual a assim como e
Como e nunca vão ser , podemos montar um sistema como
Como nosso , vamos finalmente substitui-lo
Dessa forma, vamos ter
Simplificando o resultado da última equação, temos
Colocando isolado em um lado
Essa é nossa sonhada relação de recorrência!
Para qualquer valor de , podemos obter com essa relação.
Agora queremos obter todos os índices ímpares
Como depende de , os números impares dependem de e os pares de .
Sabemos que
Se o termo dento dos parênteses for diferente de , obrigatoriamente deve ser para satisfazer a equação.
Com isso, descobrimos que e por tabela, todos os índices impares são .
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
a) ,
b)
c) ,