Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Considere a equação

a) Mostre que é ponto singular regular dessa equação

b) Determine as raízes da equação indicial dessa equação

c) Determine a relação de recorrência para os coeficientes da série de potências em torno de da solução que corresponde à menor das duas raízes da equação indicial.

Passo 1

Letra a)

precisamos verificar se o ponto é singular. Temos, nesse caso:

Mas temos que

Logo, é singular.

Assim podemos escrever:

Como as função são analíticas em , temos que esse ponto é singular da equação.

Passo 2

Letra b)

Vamos lá. Primeiro devemos determinar e para encontrarmos a equação indicial.

Assim:

Assim a equação de Euler associada é:

Com isso a equação indicial é:

Logo as raízes são: e .

Passo 3

c)

Esse item é um pouco mais trabalhoso, mas fazendo passo a passo fica tranquilo. Assim, tomando a menor raiz, temos:

Fazendo essas substituições na EDO, temos:

Colocando o para dentro dos somatórios:

Precisamos, agora, igualar as potências de por . Temos:

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice .

Temos, então:

Passo 4

Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

Assim, temos que:

Resposta

b)

c)

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