Solução de EDO – ponto singular
Dada a equação diferencial
Mostre que a equação tem um ponto singular regular em .
Determine a equação indicial e suas raízes.
Encontre a relação de recorrência.
Encontre os três primeiros termos não nulos da solução correspondente à maior raiz e dê a forma da solução correspondente à menor raiz.
Passo 1
Como a equação diferencial está na forma
identificamos: .
Assim, os pontos singulares são dados por . Logo: .
Passo 2
Agora olhamos para
E vemos que ambas as funções são analíticas para todo . Logo, os limites quando existem e são finitos:
Portanto, é um ponto singular regular.
Passo 3
Vamos escrever a série de Frobenius
De modo que, para a primeira e segunda derivadas, obtemos:
Passo 4
Agora substituímos as séries na equação...
E vamos colocar os termos com para dentro dos somatórios:
Passo 5
Vamos deixar geral com no somatório. Para isso, deslocamos o índice do último somatório:
E, assim,
Agora, reescrevemos os dois primeiros somatórios para começarem de :
E, combinando tudo:
Passo 6
Vamos tomar somente a parte de para a equação indicial:
Como e , então
Neste caso as raízes diferem por um valor fracionário.
Passo 7
Vamos tomar uma solução em série para (a maior raiz):
Como
concluímos que .
Mas precisamos da relação de recorrência:
Com :
Passo 8
Beleza, começando de , vamos ter:
Logo, a solução aparece apenas nos pares:
Passo 9
Para a outra solução linearmente independente, teremos:
Portanto, sua forma será:
Resposta
; .
; ; ;