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Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

( a ) Mostre que x = 0 é um ponto singular-regular para a equação:

6 x 2 y ' ' + 7 x y ' - x 2 + 2 y = 0

( b ) Encontre uma solução por serie da equação anterior da forma

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r

Com r sendo a maior raiz da equação indicial associada a equação anterior.

Passo 1

a   A primeira coisa a fazer é identificar o ponto singular regular, para isso primeiro vemos quais são os pontos singulares e esperamos que o zero esteja entre eles, repare que

P x = 6 x 2

Q x = 7 x

R x = - x 2 + 2

E P x = 0 só para x = 0 , esse é o único ponto singular, vamos testar agora se ele é regular fazendo os limites

lim x → 0 ⁡ x - 0 7 x 6 x 2 = lim x → 0 ⁡ 7 6 = 7 6

lim x → 0 ⁡ x - 0 2 - x 2 + 2 6 x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 - x 2 + 2 6 x 2 = lim x → 0 ⁡ - x 2 6 - 1 3 = - 1 3

Então ele é um ponto singular regular.

Passo 2

b   Agora fazemos

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r

y ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1

y ' ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 2

E substituímos na Edo

6 x 2 ∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 2 + 7 x ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 - x 2 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

∑ n = 0 ∞ 6 n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r + ∑ n = 0 ∞ 7 n + r a n x n + r - ∑ n = 0 ∞ a n x n + r + 2 - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

Passo 3

Vamos deixá-los com a mesma potência de x , nesse caso, x n + r .

∑ n = 0 ∞ a n x n + r + 2 = ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x n + r

Vamos ter então

∑ n = 0 ∞ 6 n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r + ∑ n = 0 ∞ 7 n + r a n x n + r - ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x n + r - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

Passo 4

Vamos andar todo mundo duas unidades para que todos comecem no mesmo ponto

6 r r - 1 a 0 x r + 7 r a 0 x r - 2 a 0 x r + 6 1 + r r a 1 x r + 1 + 7 1 + r a 1 x r + 1 - 2 a 1 x r + 1 + ∑ n = 2 ∞ 6 n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r + ∑ n = 2 ∞ 7 n + r a n x n + r - ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x n + r - 2 ∑ n = 2 ∞ a n x n + r = 0

Teremos duas equações aqui, uma com x r e outra x r + 1 .

6 r r - 1 a 0 + 7 r a 0 - 2 a 0 x r = 0

6 1 + r r a 1 + 7 1 + r a 1 - 2 a 1 x r + 1 = 0

Vamos agora resolver a equação indicial

6 r r - 1 a 0 + 7 r a 0 - 2 a 0 = 0

Como a 0 ≠ 0

6 r r - 1 + 7 r - 2 = 0

6 r 2 - 6 r + 7 r - 2 = 0

6 r 2 + r - 2 = 0

r 1 = - 2 3

r 2 = 1 2

Vamos analisar agora a equação com a 1

6 1 + r r a 1 + 7 1 + r a 1 - 2 a 1 = 0

Fazendo r = - 2 3 vamos ter

6 1 - 2 3 2 3 a 1 + 7 1 - 2 3 a 1 - 2 a 1 = 0

a 1 = 0  

Passo 5

Vamos, então, juntar os somatórios, colocando o x n + r em evidência

∑ n = 2 ∞ 6 n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r + ∑ n = 2 ∞ 7 n + r a n x n + r - ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x n + r - 2 ∑ n = 2 ∞ a n x n + r

∑ n = 1 ∞ 6 n + r n + r - 1 a n + 7 n + r a n - a n - 2 - 2 a n x n + r - 1 = 0

Vamos encontrar a relação de recorrência

6 n + r n + r - 1 a n + 7 n + r a n - a n - 2 - 2 a n = 0

6 n + r n + r - 1 + 7 n + r - 2 a n = a n - 2

n + r 6 n + r - 1 + 7 - 2 a n = a n - 2

n + r 6 n + 6 r - 6 + 7 - 2 a n = a n - 2

n + r 6 n + 6 r + 1 - 2 a n = a n - 2

a n = a n - 2 n + r 6 n + 6 r + 1 - 2

Passo 6

Vamos achar a solução para o maior valor de r , r 1 = 1 2 , porque é o que a questão pede

a n = a n - 2 n + 1 2 6 n + 3 + 1 - 2

a n = a n - 2 1 2 2 n + 1 6 n + 4 - 2

a n = a n - 2 2 n + 1 6 n + 4 - 4 2

a n = 2 a n - 2 2 n + 1 3 ( 2 n + 1 ) + 1 - 4

a n = 2 a n - 2 3 2 n + 1 2 + 2 n + 1 - 4

Considerando 2 n + 2 como x , podemos fatorar esse nosso denominador da seguinte forma

3 x 2 + x - 4 = 3 x - 1 x + 4 3 = x - 1 3 x + 4

3 2 n + 2 2 + 2 n + 1 - 4 = 2 n + 1 - 1 3 2 n + 1 + 4 = 2 n 6 n + 7

a n = 2 a n - 2 2 n 6 n + 7 = a n - 2 n 6 n + 7

para   n = 2       →         a 2 = a 0 2 ( 6.2 + 7 )       →       a 2 = a 0 2.19

para   n = 3       →       a 3 = a 1 3 ( 6.3 + 7 )       →       a 3 = 0

pois a 1 = 0 , e vai ser esse valor para todos os n ímpares

para   n = 4       →       a 4 = a 2 4 ( 6.4 + 7 )       →       a 4 = a 2 4.31 = a 0 4.31 2.19

para   n = 6       →       a 6 = a 4 6 ( 6.6 + 7 )       →       a 6 = a 4 6.43 = a 0 6.43 4.31 2.19

para   n = 8       →       a 8 = a 6 8 ( 6.8 + 7 )       →       a 8 = a 6 8.55 = a 0 8.55 6.43 4.31 2.19

Repara que vamos ter apenas os n pares, então vamos trocar n por 2 n :

a 2 n = a 2 n - 2 2 n 12 n + 7 = a 0 2.4 . 8.16 … 2 n 19.31.43.55 … 12 n + 7

Passo 7

Lembrando que r = 1 2 e:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 / 2

Vamos ter

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 / 2 = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a 0 2.4 . 8.16 … 2 n 19.31.43.55 … 12 n + 7 x n + 1 / 2

Podemos tirar a 0 porque queremos a solução para depois multiplicar por uma constante.

y 1 x = 1 + ∑ n = 1 ∞ 1 2.4 . 8.16 … 2 n 19.31.43.55 … 12 n + 7 x n + 1 / 2

Passo 8

A solução da EDO vai ser

y x = C 1 y 1 x

y x = C 1 1 + ∑ n = 1 ∞ 1 2.4 . 8.16 … 2 n 19.31.43.55 … 12 n + 7 x n + 1 / 2

Resposta

y x = C 1 1 + ∑ n = 1 ∞ 1 2.4 . 8.16 … 2 n 19.31.43.55 … 12 n + 7 x n + 1 / 2

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