UFF - Equações - Lista 4 - 8a
Use o teorema de Frobenius para determinar soluções da seguinte equação linear homogênea ao redor dos seus pontos singulares regulares:
Passo 1
A primeira coisa a fazer é identificar o ponto singular regular, para isso primeiro vemos quais são os pontos singulares, repare que
E só para , esse é o único ponto singular, vamos testar agora se ele é regular fazendo os limites
Então ele é um ponto singular regular.
Passo 2
Agora fazemos
E substituímos na Edo
Passo 3
Vamos deixá-los com a mesma potência de , nesse caso, .
Vamos ter então
Passo 4
Vamos andar todo mundo uma unidade para que todos comecem no mesmo ponto, os termos que vão ficar fora do somatório serão:
Vamos agora resolver a equação indicial, olhando para os termos em
Como
Opa, dessa vez temos um problema. As duas raízes deram inteiros. Assim, a única raiz que vamos pegar para fazer a solução é a maior entre elas.
Passo 5
Vamos, então, olhar para os somatórios que sobraram da nossa EDO
Agora, vamos juntar os somatórios, colocando o em evidência
Vamos encontrar a relação de recorrência
Passo 6
Vamos achar a solução para
Repara que vamos ter:
Para par, ou seja, fazendo no lugar de
Para ímpar, ou seja, fazendo
Passo 7
Lembrando que e
Vamos ter
Podemos arrumar essa solução, repare que se começarmos cada somatório ali em , teremos exatamente o e o respectivamente, assim
A solução da EDO vai ser
Opa, achamos duas soluções nesse caso, mesmo tendo só uma raiz. Isso aconteceu como normalmente acontecia em ponto ordinário. Então vamos sempre ficar atentos a essas contas hein.