UFF - Equações - Lista 4 - 8a
Use o teorema de Frobenius para determinar soluções da seguinte equação linear homogênea ao redor dos seus pontos singulares regulares:
Passo 1
A primeira coisa a fazer é identificar o ponto singular regular, para isso primeiro vemos quais são os pontos singulares, repare que
E só para , esse é o único ponto singular, vamos testar agora se ele é regular fazendo os limites
Então ele é um ponto singular regular.
Passo 2
Agora fazemos
E substituímos na Edo
Passo 3
Vamos deixá-los com a mesma potência de , nesse caso, .
E
Vamos ter então
Passo 4
Vamos andar todo mundo uma unidade para que todos comecem no mesmo ponto
Vamos agora resolver a equação indicial
Como
Opa, dessa vez temos um problema. As duas raízes deram inteiros. Assim, a única raiz que vamos pegar para fazer a solução é a maior entre elas.
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios, colocando o em evidência
Vamos encontrar a relação de recorrência
Passo 6
Vamos achar a solução para
Repara que vamos ter quase no numerador, falta os primeiros termos do fatorial, ou seja, vamos multiplicar por Em cima e embaixo por
Além disso, usando o mesmo raciocínio para o , devemos multiplicar por em cima e embaixo.
Acaba sobrando a seguinte relação
O Que estaria no numerador está dentro do , e o Do denominador está dentro do
Passo 7
Lembrando que e
Vamos ter
Se olharmos o termo geral desse somatório, se tivéssemos ele começando em , o primeiro termo seria exatamente aquele , então a solução na verdade é
Podemos tirar porque queremos a solução para depois multiplicar por uma constante.
Nessa questão temos apenas uma solução.