Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

Ver Teoria
Exercício 151234567891011121314161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445

Enunciado

Solução de EDO – ponto singular

a) Mostre que x = 0 é um ponto singular-regular para a equação

3 x 2 y ' ' + 2 x y ' + x 2 y = 0

b) Encontre a solução por série da equação acima na forma

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r ,     x > 0

Com r sendo a maior raiz da equação indicial associada a equação acima.

Passo 1

( a ) x = 0 é um ponto singular da equação pois zera o coeficiente de y ' ' . É regular pois

y ' ' + 2 3 x y ' + y 3 = 0 ,   x P x = 2 3 ,   x 2 Q x = x 2 3

Assim temos que

p 0 = 2 3 , q 0 = 0

Por definição, verificamos que x 0 = 0 é de fato um ponto singular regular.

Passo 2

( b ) A equação indicial é dada por

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

onde

Assim, obtemos:

r 2 - r + 2 3 r = 0

r 2 - 1 3 r = 0

E as soluções:

r = 0

r = 1 3

Passo 3

A solução para a maior raiz indicial é da forma

y ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 3

Substituindo na equação inicial temos:

∑ n = 0 ∞ 3 ( n + 1 3 ) ( n - 2 3 ) a n x n - 2 3 + ∑ n = 0 ∞ 2 ( n + 1 3 ) a n x n - 2 3 + ∑ n = 0 ∞ a n x n + 4 3 = 0

∑ n = 0 ∞ ( 3 n 2 + n ) a n x n - 2 3 + ∑ n = 0 ∞ a n x n + 4 3 =0

Para os dois primeiros valores de n obtemos: a 1 = 0

Para n maior ou igual a 2 podemos trocar o indexador:

∑ n = 2 ∞ ( 3 n 2 + n ) a n x n - 2 3 + ∑ n = 0 ∞ a n x n + 4 3 = 0

Fazendo n = 2 + n ' no primeiro somatório teremos: ∑ n = 0 ∞ ( 3 n 2 + 13 n + 14 ) a n + 2 x n + 4 3 + ∑ n = 0 ∞ a n x n + 4 3 = 0

Ou seja:

3 n 2 + 13 n + 14 a n + 2 + a n = 0

a n + 2 = - a n 3 n + 2 n + 7 3

Passo 4

Agora vamos separar essa relação de recorrência em duas partes: em termos pares e termos impares.

Os temos impares começam como

n = 1 → a 3 = - a 1 3 1 + 2 1 + 7 3 = 0

n = 3 → a 5 = - a 3 3 3 + 2 3 + 7 3 = 0

E assim vemos que todos os termos ímpares são nulos.

Agora vamos ver os termos pares

n = 0 → a 2 = - a 0 3 0 + 2 0 + 7 3

Vamos deixar assim pra ver se achamos algum padrão!

O próximo termo par é dado por:

n = 2 → a 4 = - a 2 3 2 + 2 2 + 7 3

Mas a 2 já conhecemos

a 4 = - a 2 3 2 + 2 2 + 7 3 = a 0 3 2 2 + 2 2 + 7 3 0 + 2 0 + 7 3

O próximo é dado por

n = 4 → a 6 = - a 4 3 4 + 2 4 + 7 3

a 6 = - a 0 3 3 4 + 2 4 + 7 3 2 + 2 2 + 7 3 0 + 2 0 + 7 3

Podemos dar uma rearranjadinha aqui

a 6 = - a 0 3 3 4 + 2 2 + 2 0 + 2 4 + 7 3 2 + 7 3 0 + 7 3

Assim já podemos imaginar como fica o termo geral

a n + 2 = ( - 1 ) n / 2 a 0 3 n 2 + 1 n + 2 … 2 + 2 0 + 2 n + 7 3 … 2 + 7 3 0 + 7 3

Se escrevermos n = 2 k (um número par geral), temos

a 2 k + 2 = ( - 1 ) k a 0 3 k + 1 2 k + 2 … 2 + 2 0 + 2 2 k + 7 3 … 2 + 7 3 0 + 7 3

Temos dois produtórios diferentes no denominador.

Vamos olhar para o primeiro

2 k + 2 … 2 + 2 0 + 2

Podemos colocar um dois em evidência para cada um desses fatores. Como temos k + 1 fatores na frente vai aparecer um 2 k + 1

2 k + 2 … 2 + 2 0 + 2 = 2 k + 1 … 2 1 + 1 2 0 + 1 = 2 k + 1 k + 1 … 3 ⋅ 2 ⋅ 1

E esse cara é o nosso velho amigo fatorial!

2 k + 2 … 2 + 2 0 + 2 = 2 k k + 1 !

Já o segundo fatorial podemos escrever como

2 k + 7 3 … 2 + 7 3 0 + 7 3 = ∏ q = 0 k 2 q + 7 3

Isso quer dizer que

a 2 k + 2 = ( - 1 ) k a 0 3 k + 1 2 k + 1 ( k + 1 ) ! ∏ q = 0 k 2 q + 7 3

Resposta

y = a 0 x 1 3 + a 0 ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k x 2 k + 2 + 1 3   3 k + 1 2 k + 1 ( k + 1 ) ! ∏ q = 0 k 2 q + 7 3

Exercícios de Livros Relacionados

Os polinômios de Legendre têm um papel importante em física matemática. Por exemplo, aoresolver a equação de Laplace (equação do potencial) em coordenadas esféricas, encontramosa equação d 2 F φ d φ 2
Pode-se mostrar que a fórmula geral para P n ( x ) é P n x = 1 2 n ∑ k = 0 n 2 - 1 k 2 n - 2 k ! k ! n - k ! n - 2 k ! x n - 2 k em que n 2 denota o piso de n / 2 , ou seja, o maior inteiro menor ou i
Em cada um dos problemas de 1 a 10:(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x=0 .(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação ind
O polinômio de Legendre P n ( x ) é definido como a solução polinomial da equação de Legendrecom α=n que satisfaz, também, a condição P n ( 1 )=1 .a) Usando os resultados do Problema 23, encontre os p
Com referência ao Problema 14, use o método de redução de ordem para mostrar que a segunda solução da equação de Bessel de ordem zero contém um termo logarítmico. Sugestão: Se y 2 ( x ) = J 0 ( x ) v