Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

Ver Teoria
Exercício 123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445

Enunciado

Suponha que y 1 x = 3 x 3 e y 2 = 5 x 5 são soluções da EDO

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Você pode dizer se o ponto x = 0 é um ponto ordinário ou singular? Justifique!

Passo 1

Pensa comigo, vai?

Se o ponto x = 0 for ordinário, as duas soluções por séries serão do tipo

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y 2 x = ∑ n = 0 ∞ b n x n

Mas se ele for singular, as soluções devem ser do tipo

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r 1

y 2 x = ∑ n = 0 ∞ b n x n + r 2

Passo 2

Como são necessárias duas condições para resolver este problema, em ponto ordinário a relação de recorrência deve aparecer de dois em dois. Isto é,

a n + 2 = f ( a n )

b n + 2 = g ( b n )

Beleza, com isso é estranho termos soluções do tipo y 1 x = 3 x 3 e y 2 = 5 x 5 . Quero dizer, se a relação de recorrência é de dois em dois, então x 3 e x 5 deveriam pertencer à mesma solução. Além disso, como poderia x 5 ser solução, sem os termos de ordem mais baixa ...?

Passo 3

Então, me parecem que elas são solução de um problema de ponto singular. E digo mais, com r 1 = 3 e r 2 = 5 . Vamos testar?

Oras, se isso for verdade, então a 0 = b 0 = 1 e todos os demais coeficientes serão nulos:

y 1 x = a 0 ⏟ 1 x 3 ⏞ r 1 + a 1 ⏟ 0 x 4 ⏞ r 1 + 1 + a 2 ⏟ 0 x 5 ⏞ r 1 + 2 + … = x 3

y 2 x = b 0 ⏟ 1 x 5 ⏞ r 2 + b 1 ⏟ 0 x 6 ⏞ r 2 + 1 + b ⏟ 0 x 7 ⏞ r 2 + 2 + … = x 5

Lembre-se também que a relação de recorrência é de um em um agora (uma relação para cada série). Mas ela pode ser tal que a partir de a 1 e de b 1 todos os termos sejam nulos, sem problema nenhum...

Logo, o ponto x = 0 deve ser singular!

Resposta

Singular.

Exercícios de Livros Relacionados

Os polinômios de Legendre têm um papel importante em física matemática. Por exemplo, aoresolver a equação de Laplace (equação do potencial) em coordenadas esféricas, encontramosa equação d 2 F φ d φ 2
Pode-se mostrar que a fórmula geral para P n ( x ) é P n x = 1 2 n ∑ k = 0 n 2 - 1 k 2 n - 2 k ! k ! n - k ! n - 2 k ! x n - 2 k em que n 2 denota o piso de n / 2 , ou seja, o maior inteiro menor ou i
Em cada um dos problemas de 1 a 10:(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x=0 .(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação ind
O polinômio de Legendre P n ( x ) é definido como a solução polinomial da equação de Legendrecom α=n que satisfaz, também, a condição P n ( 1 )=1 .a) Usando os resultados do Problema 23, encontre os p
Com referência ao Problema 14, use o método de redução de ordem para mostrar que a segunda solução da equação de Bessel de ordem zero contém um termo logarítmico. Sugestão: Se y 2 ( x ) = J 0 ( x ) v