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Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Questão 3: Considere a seguinte EDO de 2 º ordem y = y x

3 x d 2 y d x 2 + 2 d y d x + 2 y = 0

  1. Mostre que x = 0 é um ponto singular regular para a EDO dada.
  2. Suponha que

    3. y x = x r ∑ n = 0 ∞ a n x n

    Calcule as raízes da equação indicial.

  3. Demonstre a relação de recorrência: k + r 3 k + 3 r - 1 a k = - 2 a k - 1 .
  4. Usando o item c , use o método de Frobenius para obter a solução em série em torno de x = 0 , correspondente à maior raiz.

Passo 1

a )

Para mostrar isso, primeiro vamos fazer uma observação aqui: a cara de uma EDO linear de 2 º ordem e homogênea é essa daqui, veja:

P x d 2 y d x 2 + Q x d y d x + R x y = 0

No nosso caso...

P x = 3 x

Q x = 2

R x = 2

Um ponto x 0 é singular de uma EDO se P x 0 = 0 . Logo...

P x 0 = 3 x 0 = 0           →             x 0 = 0

Então x 0 é um ponto singular! Mas agora será que ele é regular?

Passo 2

Para ele ser regular esses dois limites que eu vou lhes reapresentar aqui devem existir e serem finitos:

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 ⋅ Q x P x

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 ⋅ R x P x

Vamos lá então, vamos verificar o primeiro limite primeiro:

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 ⋅ Q x P x = lim x → 0 ⁡ x ⋅ 2 3 x = 2 3

Esse limite existe e é finito, então vamos ver o outro limite...

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 ⋅ R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 ⋅ 2 3 x = 0

EPA! Os dois limites existem e são finitos! O que nos leva a afirmar que o ponto x 0 = 0 é singular, mas é regular (um singular fraco):

0   é   S i n g u l a r   R e g u l a r

Passo 3

P a s s o s   p a r a   a   r e s o l u ç ã o   d o s   i t e n s   b ,   c   e   d

Bem, a equação indicial é uma equação envolvendo r e a gente consegue obtê-la de duas formas:

  1. A primeira é com um macetinho bem maroto:

    2. r r - 1 + q 0 r + r 0 = 0

    Onde

    q 0 = lim x → x 0 ⁡ x - x 0 ⋅ Q x P x = 2 3  

    E

    r 0 = lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 ⋅ R x P x = 0

  2. A segunda forma de se obter a relação indicial é na marra mesmo resolvendo a série por Frobenius!

Veja que a primeira forma de se obter as raízes da equação indicial é de fato muito mais simples, acontece que de qualquer forma vamos ter que resolver a série por frobenius, então eu vou contigo aqui fazer por frobenius que o mais elaborado e o que cai muito nas provinhas. Porém fica a dica para você usar o macete 1 em outra ocasião ;)

Passo 4

A solução de uma equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea pelo método de Frobenius é a série:

y x = x r ∑ n = 0 ∞ a n x n                         o u                           y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r

AI você poderia me questionar: “ué! Mas se essa daí já é a solução da EDO que ele deu o que nós estamos procurando?”.

ORA! Veja que embora aquela seja a cara da solução, ainda tem algumas coisas para descobrirmos:

  1. Primeiro quem é o r ? Isso é o que queremos saber no item b .
  2. Quem é o indicie a n ? Isso é o que responde o item d .

Saca? Então temos que responder essas perguntas. No se preocupe com o item c que ele aparece no caminho!

Mas o fato é: se conhecemos a cara da solução, então podemos saber as derivadas dela:

d y d x = ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1

e

d 2 y d x 2 = ∑ n = 0 ∞ n + r - 1 n + r a n x n + r - 2

Se a solução satisfaz a EDO...

3 x d 2 y d x 2 + 2 d y d x + 2 y = 0

Então podemos substituir:

3 x ∑ n = 0 ∞ n + r - 1 n + r a n x n + r - 2 + 2 ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0         →

Observe que podemos passar o termo 3 x , no caso do primeiro somatório, para dentro... Mas atenção: x n + r - 2 ⋅ x = x n + r - 1 , observe:

∑ n = 0 ∞ 3 n + r - 1 n + r a n x n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞ 2 n + r a n x n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + r = 0         →

Como as duas primeiras séries estão iniciando do mesmo n , além de ter o mesmo termo a n x n + r - 1 , podemos aglutinar as duas primeiras séries em uma só:

∑ n = 0 ∞ 3 n + r - 1 n + r + 2 n + r a n x n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + r = 0

Mas veja que não podemos infelizmente aglutinar essas duas outras séries, pois embora elas começam do mesmo n = 0 , elas possuem potências de x diferentes! Vem comigo que vamos resolver esse pequeno empecilho!

Passo 5

∑ n = 0 ∞ 3 n + r - 1 n + r + 2 n + r a n x n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + r = 0

Bem, para colocar as duas com a mesma potência de x , podemos mudar o termo da primeira série para n + r - 1 = m + r , ou seja, podemos fazer a mudança...

m = n - 1

Quando n = 0 , então...

n = 0         →             m = - 1

Quando n → ∞

m → ∞

Logo...

∑ m = - 1 ∞ 3 m + r m + r + 1 + 2 m + r + 1 a m + 1 x m + r + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + r = 0     →

Pow! m é só um nome do termo da série, então como é só um nome, podemos chamar m de n novamente:

∑ n = - 1 ∞ 3 n + r n + r + 1 + 2 n + r + 1 a n + 1 x n + r + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + r = 0     →

Veja que agora eles estão com a mesma potência de x , mas ainda não podemos aglutinar os somatórios, afinal eles estão começando de pontos diferentes! Mas isso não é um grande problema, afinal podemos estender a primeira série para fazer n começar de 0 , veja:

3 - 1 + r - 1 + r + 1 + 2 - 1 + r + 1 a - 1 + 1 x - 1 + r + ∑ n = 0 ∞ 3 n + r n + r + 1 + 2 n + r + 1 a n + 1 x n + r + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + r = 0     →

3 - 1 + r r + 2 r a 0 x - 1 + r + ∑ n = 0 ∞ 3 n + r n + r + 1 + 2 n + r + 1 a n + 1 x n + r + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + r = 0     →

VIU? Tiramos o primeiro termo da série e agora ela passou a começar de n = 0 ! Com essas duas séries começando do mesmo lugar, podemos finalmente aglutina-las:

3 - 1 + r r + 2 r a 0 x - 1 + r + ∑ n = 0 ∞ 3 n + r n + r + 1 a n + 1 + 2 n + r + 1 a n + 1 + 2 a n x n + r = 0  

Passo 6

Veja que como temos que ter a 0 ≠ 0 , a única forma daquelas somas serem 0 é se...

3 - 1 + r r + 2 r = 0

3 n + r n + r + 1 a n + 1 + 2 n + r + 1 a n + 1 + 2 a n = 0

A primeira equação é a equação indicial (a mesma lá do macete do passo 3), enquanto a segunda é a relação de recorrência!

Passo 7

b )

Com a equação indicial em mãos, podemos encontrar as raízes:

3 - 1 + r r + 2 r = 0             →

3 r 2 - 3 r + 2 r = 0         →

3 r 2 - r = 0         →

r 3 r - 1 = 0         →

Então as raízes são:

r = 0                     e                   3 r - 1 = 0       →           r = 1 3

Passo 8

c )

Bem, agora queremos provar que a relação de recorrência vale:

k + r 3 k + 3 r - 1 a k = - 2 a k - 1

Pelo que a gente viu ali no passo 7 , a nossa relação de recorrência é:

3 n + r n + r + 1 a n + 1 + 2 n + r + 1 a n + 1 + 2 a n = 0       →

Colocando n + r + 1 em evidência...

3 n + r + 2 n + r + 1 a n + 1 + 2 a n = 0       →

3 n + 3 r + 2 n + r + 1 a n + 1 + 2 a n = 0         →

Chamando n + 1 = k ...

3 k + 3 r - 1 k + r a k + 2 a k - 1 = 0         →

3 k + 3 r - 1 k + r a k = - 2 a k - 1

Viu só?!

Passo 9

d )

Por último queremos a solução da EDO associado a maior raiz da equação de recorrência:

r = 1 3

Logo, essa solução é:

  y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 3

Vamos encontrar o a n da relação recorrência:

3 k + 3 r - 1 k + r a k = - 2 a k - 1           →

a k = - 2 a k - 1 3 k + 3 r - 1 k + r     →

a k = - 2 a k - 1 3 k + 3 ⋅ 1 3 - 1 k + 1 3     →

a k = - 2 a k - 1 3 k k + 1 3       →

a k = - 2 a k - 1 3 k 3 k + 1 3       →

a k = - 2 a k - 1 k 3 k + 1       →

Vamos ver se encontremos alguma lei de formação dos termos. Para fazer isso não tem jeito... Tem que ir substituindo valores para k até a gente saber definir o próximo termo sem precisar calcular alguma coisa! Então vamos nessa?

Passo 10

Para k = 1 ...

a 1 = - 2 a 0 1 3 + 1 = - 2 a 0 4

Para o k = 2 ...

a 2 = - 2 a 1 2 6 + 1             →             a 2 = - 2 a 1 14 = 2 ∙ 2 a 0 4 ∙ 14

Para k = 3

a 3 = - 2 a 2 3 9 + 1               →                     a 3 = - 2 a 2 3 10 = - 2 ∙ 2 ∙ 2 a 0 4 ∙ 14 ∙ 30

Para k = 4

a 4 = - 2 a 3 4 13               →                     a 4 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 a 0 4 ∙ 14 ∙ 30 ∙ 52

Acho que já dá para saber o a n sem precisar calcular neh?

a n = a 0 2 n ( - 1 ) n 4 ∙ 14 ∙ 30 ∙ 52 … ( 3 n 2 + n )

Infelizmente a gente não consegue fazer nada aí! Mas podemos deixar assim, saca?

Mas podemos concluir que a solução de Frobenius em torno da maior raiz r = 1 / 3 é...

  y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 3                 →

  y x = a 0 x 1 / 3 + ∑ n = 1 ∞ a 0 2 n ( - 1 ) n 4 ∙ 14 ∙ 30 ∙ 52 … ( 3 n 2 + n ) ⋅ x n + 1 3

Observe que nós tiramos o primeiro termo da série, porque ele é o único que não obedece a lei de formação! Ele é dado individual

Resposta

b )   r 0 = 0           e           r 1 = 1 3

d )     y x = a 0 x 1 / 3 + ∑ n = 1 ∞ a 0 2 n ( - 1 ) n 4 ∙ 14 ∙ 30 ∙ 52 … ( 3 n 2 + n ) ⋅ x n + 1 3

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