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Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Questão 3: Considere a seguinte EDO:

2 x - 1 y ' ' + x y ' + y = 0

  1. Mostre que x 0 = 1 é um ponto singular regular desta equação.
  2. Determine as raízes da equação indicial desta equação.
  3. Determine a relação de recorrência da solução em séries associadas à maior das duas raízes encontradas na parte b .

Passo 1

Letra A)

De acordo com a nossa teoria, um ponto x 0 é singular quando P x 0 = 0 . Então vamos primeiro encontrar quem é esse tal de P x !

A equação geral de uma EDO Linear e homogênea é essa daqui:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Comparando com a nossa equação

2 x - 1 y ' ' + x y ' + y = 0       →             P x = 2 x - 1 Q x = x R x = 1

P x = 2 x - 1 = 0

2 x - 2 = 0

x = 1

Poxa! Perceba que em x = 1 , é o único que zera a função P x , logo ele é o único singular!

Passo 2

Agora, vejamos se ele é regular ou não!

Pra ele ser regular esses dois limites aqui devem existir e serem finitos:

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P x                             e               lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R x P x

Substituindo e calculando o primeiro limite...

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 2 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x 2 =

1 2

Calculando o segundo...

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 1 2 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x - 1 1 2 = 0

Como ambas as respostas existem e são finitas, concluímos que x 0 = 1 é um ponto singular regular.

Passo 3

Letra B)

A equação indicial é dada por

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

onde

p 0 = lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P x = 1 2

q 0 = lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R x P x = 0

Assim, obtemos:

r 2 - r + 1 2 r - 0 = 0

r 2 - 1 2 r = 0

E as soluções:

r r - 1 2 = 0           →               r 1 = 0 r 2 = 1 2

Passo 4

Letra C)

Então, a solução em série dessa equação aqui:

2 x - 1 y ' ' + x y ' + y = 0

Vamos fazer uma substituição:

t = x - 1

2 t y ' ' + ( t + 1 ) y ' + y = 0

De acordo com a nossa teoria, é uma série como essa daqui:

y = ∑ m = 0 ∞ a m t m + r

Como buscamos a solução ao redor da maior raiz da equação indicial encontrada no passo anterior, a solução buscada é essa daqui:

y = ∑ m = 0 ∞ a m t m + 1 2

Se essa série é solução, então ela satisfaz equação da EDO:

2 t y ' ' + ( t + 1 ) y ' + y = 0

Logo, precisamos substitui-la aí e buscarmos uma relação que encontre os termos a m (relação de recorrência). Para isso, no entanto, temos que calcular as derivas dessa solução em série:

y = ∑ m = 0 ∞ a m t m + 1 2                   →                   y ' = ∑ m = 0 ∞ m + 1 2 a m t m + 1 2 - 1           →

y ' = ∑ m = 0 ∞ m + 1 2 a m t m - 1 2

A segunda derivada...

y ' ' = ∑ m = 0 ∞ m + 1 2 m - 1 2 a m t m - 1 2 - 1

Substituindo então na EDO:

2 t ∑ m = 0 ∞ m + 1 2 m - 1 2 a m t m - 3 2 + t ∑ m = 0 ∞ m + 1 2 a m t m - 1 2 + ∑ m = 0 ∞ m + 1 2 a m t m - 1 2 + ∑ m = 0 ∞ a m t m + 1 2 = 0

Simplificando e passando o t para dentro da série...

∑ m = 0 ∞ 2 m + 1 2 m - 1 2 a m t m - 1 2 + ∑ m = 0 ∞ m + 1 2 a m t m + 1 2 + ∑ m = 0 ∞ m + 1 2 a m t m - 1 2 + ∑ m = 0 ∞ a m t m + 1 2 = 0

∑ m = 0 ∞ 2 m + 1 2 m - 1 2 + m + 1 2 a m t m - 1 2 + ∑ m = 0 ∞ m + 1 2 + 1 a m t m + 1 2 = 0

Veja então que para juntar essas duas séries em uma única série, precisamos todas com o mesmo expoente de t . Vamos ver como fazer isso?

Passo 5

Vamos fazer, no primeiro somatório:

m - 1 = n

∑ m = 0 ∞ 2 m - 1 + 3 2 m - 1 + 1 2 + m - 1 + 3 2 a m t m - 1 + 1 2 + ∑ m = 0 ∞ m + 1 2 + 1 a m t m + 1 2 = 0

Quando m = 0 , n = - 1 . Então:

∑ n = - 1 ∞ 2 n + 3 2 n + 1 2 + n + 3 2 a n + 1 t n + 1 2 + ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 + 1 a n t n + 1 2 = 0

Fazendo ficar todo mundo com o somatório começando em 0 agora, precisamos substituir n por -1 no primeiro somatório:

2 - 1 + 3 2 - 1 + 1 2 + - 1 + 3 2 a 0 t - 1 + 1 2 = 0

Então podemos escrever:

∑ n = 0 ∞ 2 n + 3 2 n + 1 2 + n + 3 2 a n + 1 t n + 1 2 + ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 + 1 a n t n + 1 2 = 0

∑ n = 0 ∞ 2 n + 3 2 n + 1 a n + 1 t n + 1 2 + ∑ n = 0 ∞ n + 3 2 a n t n + 1 2 = 0

∑ n = 0 ∞ 2 n + 3 2 n + 1 a n + 1 + n + 3 2 a n t n + 1 2 = 0

Colocando n + 3 2 em evidência:

∑ n = 0 ∞ n + 3 2 2 n + 1 a n + 1 + a n t n + 1 2 = 0

Passo 6

Nós devemos ter:

n + 3 2 2 n + 1 a n + 1 + a n = 0

Como n ≥ 0 , n + 3 2 não pode ser zero, porque n seria negativo. Então:

2 n + 1 a n + 1 + a n = 0

a n + 1 = - a n 2 n + 1

Resposta

Letra a) Demonstração por definição

Letra b)

r 1 = 0 r 2 = 1 2

Letra c)

a n + 1 = - a n 2 n + 1

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