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Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

(3 pts) Responda verdadeiro (V) ou falso (F) para as seguintes questões:

( ) O sistema de EDO

X ' t = 1 1 4 1 X ( t )

Admite as soluções linearmente independentes

X 1 t = e 3 t 2 e 3 t       e       X 2 t = e - t - 2 e - t

( ) ponto x 0 = 0   é um ponto ordinário da EDO

y ' ' + sen ⁡ x y ' + 1 + x 2 y = 0

( ) O ponto x = 2 é um ponto singular-regular da EDO

2 x x - 2 2 y ' ' + 3 x y ' + x - 2 y = 0

Passo 1

Falaaa aí!!

Essa questão nos traz três afirmativas pra gente analisar.

Vamos começar da primeira:

( ) O sistema de EDO

X ' t = 1 1 4 1 X ( t )

Admite as soluções linearmente independentes

X 1 t = e 3 t 2 e 3 t       e       X 2 t = e - t - 2 e - t

Bom, nesse caso podemos testar as opções, né?

Vamos começar por X 1 ( t )

X 1 ' t = 3 e 3 t 6 e 3 t

Vamos substituir X 1 ( t ) na expressão para vermos como fica:

X ' t = 1 1 4 1 X 1 t = 1 1 4 1 e 3 t 2 e 3 t = e 3 t + 2 e 3 t 4 e 3 t + 2 e 3 t = 3 e 3 t 6 e 3 t

Olha, substituindo o X 1 ( t ) na expressão, chegamos ao que queríamos, que era o X 1 ' t . Então, para esse caso é válido.

Vamos testar agora para o X 2 t

X 2 ' t = - e - t 2 e - t

Agora, vamos substituir X 2 t na expressão:

X ' t = 1 1 4 1 X 2 t = 1 1 4 1 e - t - 2 e - t = e - t - 2 e - t 4 e - t - 2 e - t = - e - t 2 e - t

Logo, temos que X 2 t também é solução.

Nossa afirmativa então é VERDADEIRA!

Passo 2

Agora vamos partir para a segunda alternativa. Copiei aqui para não precisarmos ficar voltando ao enunciado toda hora.

( ) ponto x 0 = 0   é um ponto ordinário da EDO

y ' ' + sen ⁡ x y ' + 1 + x 2 y = 0

Bom, vamos lembrar o que é o ponto ordinário. Na expressão:

P ( x ) y ' ' + Q ( x ) y ' + R ( x ) y = 0

O ponto x 0 é ordinário quando: P ( x 0 ) ≠ 0

Bom, nesse caso P x = 1 , logo todo ponto será ordinário, inclusive x 0 = 0 , pois o P x ≠ 0 para qualquer valor de x .

Afirmativa: VERDADEIRA

Passo 3

Agora, a questão quer que a gente descubra se x = 2 é um ponto singular-regular, olha aí:

( ) O ponto x = 2 é um ponto singular-regular da EDO

2 x x - 2 2 y ' ' + 3 x y ' + x - 2 y = 0

Bom, pro ponto ser singular, ao contrário do que ocorreu na afirmativa anterior, vamos ter que P x = 0

Bom, para isso ocorrer teremos:

2 x x - 2 2 = 0 → x = 0   e   x = 2

Então, o ponto x = 2 é singular. Agora, vamos ver se é singular regular. Para isso,

lim x → 2 ⁡ x - 2 . Q x P x = lim x → 2 ⁡ x - 2 . 3 x 2 x x - 2 2 = lim x → 2 ⁡ . 3 2 ( x - 2 ) = ∞

lim x → 2 ⁡ x - 2 2 . R x P x = lim x → 2 ⁡ x - 2 2 . ( x - 2 ) 2 x x - 2 2 = 0

Como no primeiro limite não tivemos um valor finito, o ponto x = 2 é singular, mas não é regular.

Afirmativa FALSA.

Resposta

(V)(V)

(F)

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