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Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Questão 2: Sabendo que x = 0 é um ponto singular regular da EDO

2 x 2 y ' ' + 3 x y ' + 2 x 2 - 1 y = 0

Use o método de Frobenius e encontre a solução associada a maior raiz em torno de x = 0 , indicando a equação indicial, as relações recorrência e o termo geral.

Passo 1

Entendendo o problema...

Calma! Eu sei que problemas como esse são grandes e muitas vezes tediosos. Mas vem comigo que vamos destrinchá-lo e você vai ver que não é algo impossível! #VamosJuntos!

O nosso primeiro passo é entender como resolveremos a EDO. Como o próprio problema nos disse, iremos recorrer ao método de Frobenius que nos fala que a solução da EDO com ponto singular é assim:

y x = x r ⋅ ∑ n = 0 ∞ a n x n

O que basicamente temos que fazer então, já que conhecemos a solução, é encontrar quem é esse r , e quem é o termo geral a n ! Vamos nessa?

Passo 2

Destrinchando a solução...

Vamos começar então passando esse x r para dentro:

y x = x r ⋅ ∑ n = 0 ∞ a n x n = y x =

∑ n = 0 ∞ a n x n + r

Como conhecemos a cara da solução, e ela veio da EDO:

2 x 2 y ' ' + 3 x y ' + 2 x 2 - 1 y = 0

Podemos substituir esse y e suas derivadas! Mas antes quem são as derivadas da solução?

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r           →

y ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1

Derivando mais uma vez para determinar a segunda derivada...

y ' ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r - 1 n + r a n x n + r - 2

Ok! Agora é só substituir mesmo na EDO:

2 x 2 y ' ' + 3 x y ' + 2 x 2 - 1 y = 0     →

2 x 2 ∑ n = 0 ∞ n + r - 1 n + r a n x n + r - 2 + 3 x ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 + 2 x 2 - 1 ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

Eu sei! Muito grande não é? Bora simplificar essa equação então?

Passo 3

Simplificando a expressão...

2 x 2 ∑ n = 0 ∞ n + r - 1 n + r a n x n + r - 2 + 3 x ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 + 2 x 2 - 1 ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

Primeiro, podemos passar esses termos envolvendo x 2 para dentro do somatório...

∑ n = 0 ∞ 2 n + r - 1 n + r a n x n + r + ∑ n = 0 ∞ 3 n + r a n x n + r + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + r + 2 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

Perceba que exceto por esse penúltimo termo, todos os demais somatórios, somam com x n + r . Isso muito bom, pois podemos colocar o esse termo em evidência e juntar em único somatório:

∑ n = 0 ∞ [ 2 n + r - 1 n + r + 3 n + r - 1 ] a n x n + r + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + r + 2 = 0

Veja que infelizmente não podemos fazer a mesma coisa com a série que tem x n + r + 2 , pois pensa comigo, se o somatório começa com n = 0 , o primeiro termo do somatório grandão é:

[ 2 r - 1 r + 3 r - 1 ] a 0 x r

Enquanto que o segundo somatório...

2 a 0 x r + 2

Veja que não dá pra somar os dois termos, pois são termos diferentes! Então agora vem comigo para vermos o que vamos fazer para resolver esse probleminha!

Passo 4

Colocando tudo dentro de uma mesma série...

Veja que na expressão que chegamos, temos:

∑ n = 0 ∞ [ 2 n + r - 1 n + r + 3 n + r - 1 ] a n x n + r + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + r + 2 = 0

Seria interessante nessa série mais a direita, se tivéssemos o x sendo elevado ao mesmo cara: x r + n . Se fizermos essa mudança de variáveis aqui:

n + 2 = m     →

Quando n = 0 , m = 2 e quando n → ∞ então o m → ∞ :

∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + r + 2 = ∑ m = 2 ∞ 2 a m - 2 x m + r

Veja que agora temos uma série bem parecida! Podemos inclusive chamar o m de n novamente (é só um nome que não vai alterar o resultado), assim:

∑ n = 0 ∞ [ 2 n + r - 1 n + r + 3 n + r - 1 ] a n x n + r + ∑ n = 2 ∞ 2 a ( n - 2 ) x n + r = 0

Veja que legal! Colocamos com o mesmo termo! Mas infelizmente ainda não podemos aglutinar essas duas séries em uma só. O motivo é que uma série começa em n = 0 e a outra só dois termos depois em n = 2 !

CALMA JOVEM! Não se desespere! Não podemos colocar a série menor começando de n = 0 , mas podemos colocar a série grande começando de n = 2 , basta tirar os dois primeiros termos do somatório:

2 r - 1 r + 3 r - 1 a 0 + 2 1 + r - 1 1 + r + 3 1 + r - 1 a 1 + ∑ n = 2 ∞ [ 2 n + r - 1 n + r + 3 n + r - 1 ] a n x n + r + ∑ n = 2 ∞ 2 a ( n - 2 ) x n + r = 0

Agora sim, podemos colocar as duas séries dentro de uma só e colocar em evidência o termo a n x n + r :

2 r - 1 r + 3 r - 1 a 0 x r + 2 1 + r - 1 1 + r + 3 1 + r - 1 a 1 x r + 1 + ∑ n = 2 ∞ [ 2 n + r - 1 n + r a n + 3 n + r a n - a n + 2 a ( n - 2 ) ] x n + r = 0

Passo 5

Conhecendo as relações...

Simplificando um pouquinho os termos...

2 r 2 - 2 r + 3 r - 1 a 0 x r + 2 r r + 1 + 3 + 3 r - 1 a 1 x r + 1 + ∑ n = 2 ∞ [ 2 n + r - 1 n + r a n + 3 n + r a n - a n + 2 a ( n - 2 ) ] x n + r = 0   →

2 r 2 + r - 1 a 0 x r + 2 r 2 + 5 r + 2 a 1 x r + 1 + ∑ n = 2 ∞ [ 2 n + r - 1 n + r a n + 3 n + r a n - a n + 2 a ( n - 2 ) ] x n + r = 0

Veja bem que para essa expressão zerar, três coisas têm que acontecer:

2 r 2 + r - 1 = 0

2 r 2 + 5 r + 2 = 0

2 n + r - 1 n + r a n + 3 n + r a n - a n + 2 a n - 2 = 0

Mas veja que não podemos garantir que a primeira e a segunda sejam verdadeiras ao mesmo tempo! Porque, na primeira temos como raízes r 1 = 2 e r 2 = - 5 / 2 . Já na segunda temos r 1 = - 2 e r 2 = - 1 / 2 . Então vamos fazer o seguinte: considerar que a 1 = 0 , dessa forma o segundo termo daquela soma ali em cima será 0 :

2 r 2 + 5 r + 2 a 1 x r + 1

Então sendo assim ficamos com duas relações:

2 r 2 + r - 1 = 0

2 n + r - 1 n + r a n + 3 n + r a n - a n + 2 a n - 2 = 0

A primeira é a famosa relação indicial enquanto a segunda... A relação de recorrência!

Passo 6

Da relação indicial...

2 r 2 + r - 1 = 0

Podemos tirar duas informações fazendo Báskara:

2 r 2 + r - 1 = 0       →           r 1 = 1 2 r 2 = - 1

Normalmente teríamos que escolher qual raiz vamos trabalhar, mas o problema já nos deu a informação de qual delas:

“... associada a maior raiz...”.

Então, nesse caso, vamos trabalhar com r = 1 2 !

Passo 7

Da relação de relação de recorrência...

2 n + r - 1 n + r a n + 3 n + r a n - a n + 2 a n - 2 = 0

A solução associada a maior raiz é r = 1 2

2 n + 1 2 - 1 n + 1 2 a n + 3 n + 1 2 a n - a n + 2 a n - 2 = 0       →

2 n - 1 2 n + 1 2 + 3 n + 1 2 - 1 a n + 2 a n - 2 = 0     →

Isolando o a índice n :

a n = - 2 a n - 2 2 n - 1 2 n + 1 2 + 3 n + 1 2 - 1 = - 2 a n - 2 2 n - 1 2 + 3 n + 1 2 - 1 =

A partir de agora a gente vai dar umas simplificadas, heim!

= - 2 a n - 2 2 n + 2 n + 1 2 - 1 =

- 2 a n - 2 2 n + 1 n + 1 2 - 1 =

- 2 a n - 2 n + 1 2 n + 1 - 1 =

- 2 a n - 2 2 n 2 + n + 2 n + 1 - 1 =

- 2 a n - 2 2 n 2 + 3 n =

- 2 a n - 2 n 2 n + 3

Prontinho! Bem simplificado! O que vamos fazer agora é encontrar o termo geral, e a gente vai fazer isso substituindo mesmo n mesmo até encontrarmos uma relação! Vem comigo

Passo 8

Encontrando o termo geral!

Começando com o n = 2 (o somatório começa de 2 , lembra?)...

a n = - 2 a n - 2 n 2 n + 3                 →               n = 2             →

a 2 = - 2 a 0 2 ⋅ 7

Para n = 3

a 3 = - 2 a 1 3 2 ⋅ 3 + 3       →       a 3 = 0

Para n = 4

a 4 = - 2 a 2 4 2 ⋅ 4 + 3         →               a 4 = - 2 4 2 ⋅ 4 + 3 - 2 a 0 2 ⋅ 7             →

a 4 = 2 2 a 0 4 ⋅ 2 ⋅ 11 ⋅ 7

Para n = 5 ...

a 5 = - 2 a 3 5 2 ⋅ 5 + 3 = 0

(perceba que os índices ímpares estão zerando devido o a 1 = 0 )...

Para n = 6

a 6 = - 2 a 6 - 2 6 2 ⋅ 6 + 3           →                 a 6 = - 2 a 4 6 15                     →                 a 6 = - 2 6 15 ⋅ 2 2 4 ⋅ 2 ⋅ 11 ⋅ 7

  a 6 = - 2 3 a 0 6 ⋅ 4 ⋅ 2 15 ⋅ 11 ⋅ 7

Veja que sem fazer as continhas, já podemos imaginar a cara do termo a 8 ...

  a 8 = 2 4 a 0 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 19 ⋅ 15 ⋅ 11 ⋅ 7

Veja então que a gente já pode tirar grandes conclusões com essas expansões que fizemos:

  1. Qualquer termo impar a 2 n + 1 é 0 ...

    2. a 2 n + 1

  2. Os termos pares a 2 n ...

  a 2 n = - 1 n 2 n a 0 2 n ⋅ …   ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 2 2 n + 3 ⋅ … ⋅ 19 ⋅ 15 ⋅ 11 ⋅ 7

Se você fizer para n = 2 ou n = 3 vai perceber que é exatamente o que a gente encontrou nas continhas provando que essa expressão geral está certa!!! Se quisermos, podemos simplificar um pouco mais lembrando que...

2 n ⋅ …   ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 2 n ⋅ … ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 2 ⋅ n !

  a 2 n = - 1 n 2 n a 0 2 n n ! 4 n + 3 ⋅ … ⋅ 19 ⋅ 15 ⋅ 11 ⋅ 7

  a 2 n = - 1 n a 0 n ! 4 n + 3 ⋅ … ⋅ 19 ⋅ 15 ⋅ 11 ⋅ 7

Já esse outro expressão ali não tem muito jeito não, então agente pode deixar assim mesmo! !

Passo 9

Finalizando...

Bem, a nossa solução, falamos lá no início, que era oh:

y x = x r ⋅ ∑ n = 0 ∞ a n x n

Como r = 1 2 e só temos termos pares

y x = a 0 x 1 / 2 + x 1 / 2 ⋅ ∑ n = 1 ∞ a 2 n x 2 n

E o a 2 n (relação de termo geral)...

y x = a 0 x 1 / 2 + x 1 / 2 ⋅ ∑ n = 1 ∞   - 1 n a 0 n ! 4 n + 3 ⋅ … ⋅ 19 ⋅ 15 ⋅ 11 ⋅ 7 x 2 n

Resposta

R e l a ç ã o   i n d i c i a l                     →                     2 r 2 + r - 1 = 0

R e l a ç ã o   d e   r e c o r r ê n c i a             →           2 n + r - 1 n + r a n + 3 n + r a n - a n + 2 a n - 2 = 0

T e r m o   g e r a l                 →           a 2 n = - 1 n a 0 n ! 4 n + 3 ⋅ … ⋅ 19 ⋅ 15 ⋅ 11 ⋅ 7

S o l u ç ã o   d a   E D O               →               y x = a 0 x 1 / 2 + x 1 / 2 ⋅ ∑ n = 1 ∞   - 1 n a 0 n ! 4 n + 3 ⋅ … ⋅ 19 ⋅ 15 ⋅ 11 ⋅ 7 x 2 n

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