Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

Ver Teoria
Exercício 131234567891011121415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445

Enunciado

  1. Mostre que x = 0 é um ponto singular-regular para a equação

    2. 6 x 2 y ' ' + 7 x y ' - x 2 + 2 y = 0

  2. Encontre uma solução por série da equação na forma

    3. y = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r ,     x > 0

    Com r sendo a maior raiz da equação indicial associada a equação.

  3. Qual o raio mínimo de convergência da solução.

Passo 1

  a ) A equação pode ser reescrita assim:

6 x 2 y ' ' + 7 x y ' - x 2 + 2 y = 0

y ' ' + 7 6 x ⏟ p ( x ) y ' - x 2 + 2 6 x 2 ⏟ q ( x ) y = 0

E como x = 0 é o único ponto que anula o termo 6 x 2 , ele é um ponto singular.

Passo 2

Agora, vemos o seguinte:

x p x = 7 6

x 2 q x = - x 2 + 2 6 = - 1 3 - x 2 6

Como ambas as funções acima são analíticas em todos os pontos, concluímos que x 0 = 0 é um ponto singular regular.

Passo 3

b ) A equação indicial é dada por

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

onde

lim x → 0 ⁡ x p x = l i m x → 0 7 6 = 7 6

lim x → 0 ⁡ x 2 q x = l i m x → 0 - x 2 + 2 6 = - 1 3

Assim, obtemos:

r 2 - r + 7 6 r - 1 3 = 0

r 2 + 1 6 r - 1 3 = 0

E as soluções:

r = - 1 6 ± 1 36 + 4 3 2

r = - 1 6 ± 49 36 2

r = - 1 6 ± 7 6 2

r = - 1 ± 7 12 → r 1 = 1 / 2 r 2 = - 2 / 3

Passo 4

Como queremos uma solução por série naquele formato temos que primeiramente derivar a solução para substituir na equação.

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 2

y ' x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 a n x n - 1 2

y ' ' x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 n - 1 2 a n x n - 3 2

Substituindo na equação.

6 x 2 ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 n - 1 2 a n x n - 3 2 + 7 x ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 a n x n - 1 2 - x 2 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 2 = 0

6 ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 n - 1 2 a n x n + 1 2 + 7 ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 a n x n + 1 2 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 5 2 - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 2 = 0

Vamos manipular a nossa equação para podermos colocar em evidencia o que precisamos.

∑ n = 0 ∞ a n x n + 5 2 = ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x n + 1 2

∑ n = 0 ∞ n + 1 2 n - 1 2 a n x n + 1 2 = - a 0 4 x 1 2 + 3 a 1 4 x 3 2 + ∑ n = 2 ∞ n + 1 2 n - 1 2 a n x n + 1 2  

∑ n = 0 ∞ n + 1 2 a n x n + 1 2 = a 0 2 x 1 2 + 3 a 1 2 x 3 2 + ∑ n = 2 ∞ n + 1 2 a n x n + 1 2

∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 2 = a 0 x 1 2 + a 1 x 3 2 + ∑ n = 2 ∞ a n x n + 1 2

Assim a nossa equação será

- 6 a 0 4 x 1 2 + 18 a 1 4 x 3 2 + 7 a 0 2 x 1 2 + 21 a 1 2 x 3 2 - 2 a 0 x 1 2 - 2 a 1 x 3 2 + ∑ n = 2 ∞ - 2 a n - a n - 2 + 7 n + 1 2 a n + 6 n + 1 2 n - 1 2 a n x n + 1 2 = 0

13 a 1 x 3 2 + ∑ n = 2 ∞ - 2 a n - a n - 2 + 7 n + 1 2 a n + 6 n + 1 2 n - 1 2 a n x n + 1 2 = 0

Passo 5

Como temos uma identidade polinomial temos

a 1 = 0

- 2 a n - a n - 2 + 7 n + 1 2 a n + 6 n + 1 2 n - 1 2 a n = 0

a n = a n - 2 7 n + 6 n 2 = a n - 2 n ( 7 + 6 n )

Analisando os coeficientes temos

a 2 = a 0 2 7 + 6.2  

a 3 = a 1 3 - 11 = 0

a 4 = a 2 4 31 = a 0 2.4 . ( 7 + 6.4 ) ( 7 + 6.2 )

a 6 = a 4 6.43 = a 0 2.4 . 6 . 7 + 6.2 7 + 6.4 7 + 6.6  

Disso podemos tirar que os termos ímpares dessa serie serão iguais a zero e os termos pares serão definidos por.

a 2 n = a 0 2 n n ∏ n = 1 n ( 7 + 12 n )

Logo a nossa série

y x = a 0 x 1 2 + ∑ n = 1 ∞ a 0 2 n n ! ∏ n = 1 n ( 7 + 12 n ) x 2 n + 1 2

Passo 6

c)

Agora vai dar bastante trabalho, mas vamos ter que aplicar um teste normal para essa série. Vamos tentar o teste da razão.

a n = a 0 2 n n ! ∏ n = 1 n 7 + 12 n x 2 n + 1 2

a n + 1 = a 0 2 n + 1 ( n + 1 ) ! ∏ n = 1 n + 1 ( 7 + 12 n ) x 2 ( n + 1 ) + 1 2

Calculando   lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

  lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ a 0 2 n + 1 ( n + 1 ) ! ∏ n = 1 n + 1 ( 7 + 12 n ) x 2 ( n + 1 ) + 1 2 2 n n ! ∏ n = 1 n 7 + 12 n a 0 x 2 n + 1 2

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x 2 2 n + 1 7 + 12 n + 1 = 0

Logo o raio de convergência será

R = ∞

Resposta

b)

y x = a 0 x 1 2 + ∑ n = 1 ∞ a 0 2 n n ! ∏ n = 1 n ( 7 + 12 n ) x 2 n + 1 2

c)

R = ∞

Exercícios de Livros Relacionados

Os polinômios de Legendre têm um papel importante em física matemática. Por exemplo, aoresolver a equação de Laplace (equação do potencial) em coordenadas esféricas, encontramosa equação d 2 F φ d φ 2
Pode-se mostrar que a fórmula geral para P n ( x ) é P n x = 1 2 n ∑ k = 0 n 2 - 1 k 2 n - 2 k ! k ! n - k ! n - 2 k ! x n - 2 k em que n 2 denota o piso de n / 2 , ou seja, o maior inteiro menor ou i
Em cada um dos problemas de 1 a 10:(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x=0 .(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação ind
O polinômio de Legendre P n ( x ) é definido como a solução polinomial da equação de Legendrecom α=n que satisfaz, também, a condição P n ( 1 )=1 .a) Usando os resultados do Problema 23, encontre os p
Com referência ao Problema 14, use o método de redução de ordem para mostrar que a segunda solução da equação de Bessel de ordem zero contém um termo logarítmico. Sugestão: Se y 2 ( x ) = J 0 ( x ) v