IME, Cálculo 3, 2021, VF, Q2
Utilizando a teoria de séries de potência, obtenha a solução geral da EDO abaixo.
Passo 1
Faaaala, pessoal! Dividindo-a por , obtemos:
Como nessa forma (coeficiente de ) as funções e não estão definidas para não basta utilizar apenas a substituição por séries. Temos de usar o método de Frobenius! Este indica que para uma EDO na forma:
Que em nosso caso, temos e , devemos resolver a equação indicial:
E a partir das raízes construir o resultado. Nosso caso, com é:
Passo 2
Feito isso, a solução depende se a diferença das raízes é inteira ou não. Se , teremos 2 soluções independentes:
Contudo, se , temos de substituir por:
Onde é constante. No caso em mãos, as raízes diferem por . Logo, teremos duas soluções independentes na forma:
Basta determiná-las substituindo na EDO!
Passo 3
Supondo que , consideremos as soluções na forma com e , tal que derivando:
E substituindo na EDO:
Reunindo alguns termos obtemos a equação indicial:
Transladando o último somatório, temos:
Reunindo os similares (), isolando os solitários e zerando os coeficientes de , temos:
Como para , temos e, ainda, fixe . Ademais:
Assim, enquanto os termos pares seguem a recorrência acima.
Passo 4
Supondo agora , consideremos as soluções na forma com e , tal que derivando:
Contudo o fator em uma EDO homogênea como a nossa não alterará a recorrência obtida:
Assim, para , nossa recorrência para :
Com e . Logo, para , :
Enquanto para , nossa recorrência para :
Com e . Logo, para , :
Passo 5
A solução geral, pois, da EDO é dada por:
Neste ponto, o método de Frobenius permite ressaltar que as soluções convergem e satisfazem a EDO em , onde é o raio maior raio de convergência para a expansão em séries de e , as quais por serem polinomiais possuem . Isto é:
“As séries convergem e são solução da EDO para todo tal que ”