Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Ciclos

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Enunciado

Um mol de um gás monoatômico ideal realiza o ciclo mostrado na figura. O processo B → A é uma contração isotérmica reversível. São conhecidos P C e V C e sabe-se que P C = 5 P B e V C = 5 V A .

Supondo conhecidas as relações entre C P , C V , R e o número de graus de liberdade do gás, o trabalho líquido feito pelo o gás no ciclo pode ser escrito como:

(a) W C i c l o = P C V C 5 ( 4 + ln ⁡ 5 )

(b) W C i c l o = P C V C 5 ( ln ⁡ 5 - 4 )

(c) W C i c l o = P C V C 4 5 - ln ⁡ 5

(d) W C i c l o = P C V C 4 - ln ⁡ 5

(e) W C i c l o = P C V C 5 4 - ln ⁡ 5

Passo 1

O trabalho no ciclo é igual à área do gráfico! Então podemos dizer que:

W c i c l o = W A C - W B A

Mas, perceba que o trabalho realizado de B para A será negativo!! Pois é uma contração isotérmica. Só que a área debaixo da curva de B para A não tem área negativa... Portanto, o que faremos aqui é considerar os módulos das áreas:

W c i c l o = | W A C | - | W B A |

Beleza?? Senão acabaríamos somando as duas áreas (ficaria - - W B A = + W B A ) e não é o que queremos.

Show! Então só precisamos calcular esses dois trabalhos né? Então vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular o trabalho em AC:

W A C = P C V C - V A

W A C = P C V C - V C 5

W A C = 4 P C V C 5

Show!

Passo 3

Agora vamos calcular o trabalho em BA:

W B A = ∫ B A p d V

W B A = ∫ B A n R T B A V d V

W B A = n R T B A ln ⁡ V A V B

Mas ele disse que:

V A = V C 5

E pelo gráfico:

V C = V B

Então:

W B A = n R T B A ln ⁡ V C 5 V C

W B A = n R T B A ln ⁡ 1 5

W B A = - n R T B A ln ⁡ 5

Sabemos que n = 1 , então só falta calcular a temperatura no processo BA.

Passo 4

T B A = p A V A n R

Ou:

T B A = p B V B n R

Você poderia usar qualquer um dos dois! Vou usar os valores de A:

T B A = p C V C / 5 n R

T B A = p C V C 5 n R

Vamos trocar lá no trabalho:

W B A = - n R p C V C 5 n R ln ⁡ 5

W B A = - p C V C 5 ln ⁡ 5

Passo 5

O trabalho no ciclo vai ser então:

W c i c l o = | W A C | - | W B A |

W c i c l o = 4 P C V C 5 - p C V C 5 ln ⁡ 5

W c i c l o = P C V C 5 ( 4 - ln ⁡ 5 )

Resposta

Letra E.

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