Calcule os autovalores e autoespaços associados de:

uma reflexão no plano em ;

uma projeção ortogonal numa reta em com ;

uma projeção ortogonal na reta gerada por .

Já o autovalor está associado ao complemento ortogonal desse plano. Como estamos no , ele será a reta gerada pelo vetor que possui os coeficientes da equação do plano como coordenadas:

Então temos o autovetor associado ao autovalor .

Dessa vez temos uma projeção, então teremos os autovalores e .

Repare, no entanto, que ele não dá diretamente o espaço no qual estamos projetando. Opa, mas ele dá a informação que estamos projetando em uma reta e que:

Bom, disso tiramos que é autovetor associado ao autovalor . Isso quer dizer que esse vetor gera a reta na qual estamos projetando!!

Como estamos no , os vetores do plano ortogonal à essa reta serão autovetores associados ao autovalor . O plano ortogonal ao vetor tem equação dada pelas coordenadas do vetor:

Logo, esse plano possui vetores da forma:

Então temos os autovetores e associados ao autovalor .

Novamente temos uma projeção, então autovalores e . Ele já diz que a reta na qual estamos projetando é aquela gerada pelo vetor .

Temos então o autovetor associado ao autovalor .

Os autovetores associados ao autovalor serão aqueles do espaço ortogonal à reta. Como estamos no , esse espaço terá dimensão . E a melhor parte, aquele macete dos coeficientes também vale aqui! É só pegarmos as coordenadas do vetor e jogarmos nos coeficientes que teremos nosso espaço ortogonal:

Dessa forma temos os autovetores , e associados ao autovalor .