UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.2, Questão 13
Sejam a reflexão do em relação ao eixo e Defina a transformação como sendo a aplicação de seguida da aplicação de Os autovalores de são:
(a) e
(b) 1 e 2
(c) 0 e
(d) e
Passo 1
Bom, primeiro eu tenho uma reflexão no eixo , sabemos que os autovalores desse tipo de transformação são 1 e .
Isso porque se eu aplicar vetores pertencentes ao eixo , ou seja, aqueles cujas coordenadas são:
A transformação vai me retornar eles mesmos.
E se eu aplicar vetores perpendiculares ao eixo , ou seja, pertencentes ao eixo , , a reflexão vai simplesmente mudar o sentido deles,,
Passo 2
Agora vamos ver o que acontece com esses autovetores quando aplicamos a segunda transformação.
Vou aplicar a imagem vetor gerador do autoespaço associado ao autovalor 1, que vai ser ele mesmo:
Opa, o vetor continua igual, entao continua sendo autovalor! Agora vamos ver o outro autovalor
O vetor foi multiplicado por 2, assim, o nosso novo autovalor vai ser ao invés de
Resposta
(a)