Exercícios Resolvidos de Projeção e Reflexão

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Enunciado

A = 6 7 - 2 7 - 3 7 - 2 7 3 7 - 6 7 - 3 7 - 6 7 - 2 7 é a matriz que realiza a reflexão ortogonal em um subespaço W . O autoespaço associado ao autovalor negativo é:

a   x + 2 y + 3 z = 0

b   A reta na direção do vetor 1,2 , 3

c   x + 3 y + 2 z = 0

d   A reta na direção do vetor 1 , 3,2

Passo 1

Ao invés de acharmos os autovalores e autovetores, vamos testar as opções que é bem mais rápido haha. Como essa é uma matriz reflexão, o autovalor negativo é o - 1 !

Vamos começar testando os vetores das opções:

6 7 - 2 7 - 3 7 - 2 7 3 7 - 6 7 - 3 7 - 6 7 - 2 7 1 2 3 = - 1 - 2 - 3

Opa, então 1 , 2,3 é autovetor associado ao autovalor negativo! E como ele não faz parte de nenhum dos planos das opções então essa é a certa mesmo!

Resposta

Letra ( b )