Exercícios de Projeção e Reflexão - Lista de Exercícios Resolvida

Seja a projeção ortogonal sobre a direção do vetor seguida de uma expansão de na direção .

Os autovalores de são:

e

e

e

e

Seja a matriz que representa uma reflexão através do plano .

Marque a alternativa correta:

Os autovalores de são e

Os autovalores de são e

Os autovalores de são e

Os autovalores de são e

Calcule os autovalores e autoespaços associados de:

uma reflexão no plano em ;

uma projeção ortogonal numa reta em com ;

uma projeção ortogonal na reta gerada por .

Sejam a projeção ortogonal no subespaço e a reflexão por

(a) Ambas são verdadeiras

(b) é falsa e é verdadeira

(c) Ambas são falsas

(d) é verdadeira e é falsa

Seja uma reflexão do em relação ao eixo seguida da expansão de na direção do eixo , mantendo os demais eixos fixos. Os autovalores de são:

e

e

e

e

Seja a reflexão em pelo plano e . Calcule :

Seja a reflexão ortogonal pelo plano . Os autovalores de são:

, e

, e

, e

, e

Não sei

Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. Se uma transformação linear for uma rotação em torno de um eixo, então não é autovalor de .
2. Se o polinômio característico da matriz for então o autoespaço de associado ao autovalor tem dimensão .

I é falsa e II é verdadeira

Ambas são verdadeiras

Ambas são falsas

I é verdadeira e II é falsa

Seja uma transformação linear tal que

1. pode ser uma reflexão por um plano de
2. pode ser uma reflexão por uma reta de

é falsa, mas é verdadeira

é verdadeira, mas é falsa

e são verdadeiras

e são falsas

Assinale a matriz que representa na base canônica do a projeção ortogonal no plano :

Considere as transformações lineares de em : , projeção ortogonal sobre o eixo ; , rotação de graus no sentido anti-horário em torno da origem e , rotação de graus no sentido horário em torno da origem. Seja .

Considere as afirmativas:

1. e são autovalores de .
2. e são autovetores de .

1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
2. (I) é falsa e (II) é falsa.
3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Seja uma reflexão ortogonal em relação a uma reta. Sabendo-se que é um autovetor associado ao autovalor , a matriz de na base canônica é dada por:

Sejam e transformações lineares de em , sendo injetiva e sobrejetiva. A única afirmativa que pode ser verdadeira é:

1. é a projeção ortogonal sobre .
2. é autovalor de .
3. é autovalor de .
4. é uma rotação em torno da reta

Sejam e matrizes . Considere as seguintes afirmativas:

1. Se não tem autovetores, então não tem autovetores.
2. Mesmo que tenha apenas uma direção de autovetores, pode ter duas direções distintas de autovetores.

Ambas são verdadeiras

é falsa e é verdadeira

Ambas são falsas

é verdadeira e é falsa.

Seja a matriz que representa a projeção ortogonal na reta seguida da reflexão pela reta . Assinale os autovalores de

(a) apenas 1

(b) 1 e 0

(c) e 0

(d)e

Sejam a reflexão do em relação ao eixo e Defina a transformação como sendo a aplicação de seguida da aplicação de Os autovalores de são:

(a) e

(b) 1 e 2

(c) 0 e

(d) e

Considere a transformação linear , tal que existe um vetor , não-nulo, onde Se o determinante da matriz for igual a , então:

é uma projeção na reta definida por

é uma reflexão pela reta definida por

é uma rotação

é uma expansão

Seja uma matriz . Assinale a alternativa VERDADEIRA:

sempre tem dois autovetores linearmente independentes

sempre tem infinitos autovetores

pode não ter autovetores

pode ter apenas um autovetor

Seja uma matriz que representa uma transformação linear . Se as colunas de são linearmente independentes podemos afirmar que NÃO pode ser uma:

Projeção ortogonal na reta cujo vetor diretor é

Reflexão pela reta cujo vetor diretor é o

Rotação de um ângulo não nulo em torno da origem

Transformação que leva o vetor no vetor

Seja uma transformação linear com determinante nulo. O que podemos afirmar sobre ?

é uma expansão homogênea

é uma rotação

não é uma projeção ortogonal

não é uma reflexão ortogonal

Seja uma reflexão pela reta e uma projeção pela reta . Qual o polinômio característico de ?

é a matriz que realiza a reflexão ortogonal em um subespaço . O autoespaço associado ao autovalor negativo é:

A reta na direção do vetor

A reta na direção do vetor

Seja a Reflexão Ortogonal pelo plano . A matriz desta transformação linear na base canônica é:

é a matriz que realiza a projeção ortogonal em um subespaço . O autoespaço associado ao autovalor de menor módulo é:

A reta na direção do vetor

A reta na direção do vetor

Seja uma reflexão do plano sobre uma reta. Então seu polinômio característico é:

É dado que é a matriz de uma projeção ortogonal. O autoespaço associado ao autovalor de menor módulo é:

O plano

O plano

A reta gerada por

A reta gerada por

Seja uma projeção na reta e uma reflexão pela reta . Qual o polinômio característico de ?

Seja uma transformação linear, , e um vetor ortogonal a e . Considere que , e pertence ao núcleo de . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

Seja o plano em determinado pelos vetores . Calcule o determinante da matriz que representa a reflexão ortogonal por .

Assinale a matriz da projeção ortogonal no plano

(a)

(b)

(c

(d)

Seja uma reflexão ortogonal em relação a uma reta. Sabendo-se que é um autovetor associado ao autovalor , é dada por:

Seja a projeção ortogonal no plano . Assinale abaixo um vetor que NÃO É AUTOVETOR de :

Seja a rotação de ângulo em torno do esixo orientado determinado pelo vetor unitário .

Encontre uma base ortonormal de tal que .

Sendo a base canônica de , calcule .

Qual dos itens a seguir corresponde ao autoespaço de associado ao autovalor ? Justifique.

Seja uma reflexão do em relação ao eixo seguida da expansão de na direção do eixo , mantendo o eixo fixo. Os autovalores de são:

e

e

e

e

Seja uma matriz , cujo polinômio característico é . Então:

pode ser uma rotação em torno de uma reta;

pode ser uma projeção em uma reta;

pode ser uma reflexão por um plano;

pode ser uma projeção em um plano;

é a matriz de uma reflexão ortogonal. O autoespaço associado ao autovalor positivo é:

A reta na direção do vetor

A reta na direção do vetor

Considere as seguintes transformações lineares de no : , uma projeção ortogonal sobre um plano, e , uma reflexão através de um plano. Qual das transformações abaixo possui entre seus autovalores?

Seja .

1. Se é uma rotação de radianos centrada na origem, então não possui autovetores.
2. Se é uma rotação de radianos, em torno de um eixo passando pela origem, então não possui autovetores.

e são verdadeiras

e são falsas

é verdadeira, mas é falsa

é falsa, mas é verdadeira

Seja uma matriz tal que é uma rotação em torno de uma reta passando pela origem. Qual dos seguintes polinômios pode ser o polinômio característico de ?