A5 T3
Seja uma matriz tal que é uma rotação em torno de uma reta passando pela origem. Qual dos seguintes polinômios pode ser o polinômio característico de ?
Passo 1
Ta, vamos devagar. Primeira coisa, como é uma rotação em torno de uma reta então os vetores dessa reta não se alteram certo? Então já temos o autovalor garantido. Vamos ver qual desses polinômios não possui o valor como raiz pra já eliminarmos algumas alternativas.
Ta, eliminamos a já. É um começo haha.
Passo 2
Ta, agora começa a parte mais obscura da questão haha. Imagine que a rotação seja de . Nesse caso, os vetores no plano ortogonal à reta seriam autovetores associados ao autovalor concorda? É como se eles tivessem sendo refletidos!
Se esse for o caso, teríamos que ter o autovalor de multiplicidade já que o autoespaço associado ao autovalor seria um plano. Bom a única equação que têm o como raiz é a :
Agora falta verificar se ela possui multiplicidade no . Se for esse o caso teremos:
Claramente não temos uma igualdade, então essa letra pode ser eliminada.
Passo 3
Nossa isso tudo só pra eliminar uma letra? Aí que se engana rapaz, agora que provamos que a rotação não pode ser uma reflexão (não estamos girando ) isso quer dizer que seus dois outros autovalores serão complexos! Isso também elimina a letra que possui autovalores reais. Então a resposta tem que ser a .
Obs.: Essa questão é considerada difícil então não se assustem se não conseguiram resolver de cara haha.
Resposta
Letra