Assinale a área do paralelogramo definido pelos pontos e:

1. .
2. .
3. .
4. .

Belezoca galera, como temos apenas as coordenadas dos pontos, precisamos traçar os segmentos que ligam os pontos, esses segmentos vão ser os nossos lado e base. Então para o lado, temos o segmento , logo:

E seu módulo é:

E para a base, temos o segmento dado por:

Onde o módulo é:

Iradoso, então agora já temos os segmentos que formam os lados do nosso paralelogramo!!

Xuxu beleza então, agora a gente precisa encontrar a altura do paralelogramo. E pra isso, a gente pode usar algumas relações trigonométricas com ângulo . Saca só, na minha figura a gente tem o triângulo retângulo em vermelho:

Então quer dizer que:

Logo, substituindo o módulo de que encontramos, temos que:

Mas calma lá chefe, porque agora que vem a malandragem. Não sabemos calcular o seno de um ângulo entre dois segmentos, MAAASSSSS sabemos calcular o cosseno do ângulo entre dois segmentos.

Sabemos siimm, e o método tem um nome muito chique, a chamada Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que diz que o cosseno de um ângulo entre dois segmentos e , é dado por:

Mas no nosso caso, temos que esses segmentos e são o lado e a base e respectivamente, logo:

Então substituindo os valores que conhecemos, temos que:

E agora que vem a parte divertida, porque o seno e o cosseno de um ângulo se relacionam através da identidade fundamental:

Logo:

E substituindo tudo que encontramos, temos que:

Logo:

Então voltando pra problemática inicial da área, temos que ela ia ser dada por:

E encontramos que e logo:

Nossa resposta então é a alternativa (c), .