Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Considere os vetores ( 2 , - 1 , 1,2 ) e ( 1 ,   2 ,   2 ,   1 ) de R 4 . Seja θ o ângulo entre eles. Então:

(a) π 2 < θ < 3 π 4

(b) 0 < θ < π 4

(c) π 4 < θ < π 2

(d) 3 π 4 < θ < π

Passo 1

Opa, é só usarmos aquela formulinha:

cos ⁡ θ = u , v u v

  cos ⁡ θ = ( 2 , - 1,1 , 2 ) , ( 1,2 , 2,1 ) 2 2 + - 1 2 + 1 2 + 2 2 1 2 + 2 2 + 2 2 + 1 2

cos ⁡ θ = 2 - 2 + 2 + 2 10 10 = 4 10 = 0,4

Como o cosseno é positivo, o menor ângulo entre eles deve estar entre 0 e π 2 .

Passo 2

Sei que o cosseno de 0 é 1, de π 4 é 2 2 ≅ 0,7 . Como 0,4   não está entre 0,7   e   1 , o ângulo não pertence a esse intervalo!

Ele vai pertencer ao intervalo entre π 4 ( cos ⁡ π 4 ≅ 0,7 ) e π 2 , cujo cosseno é 0, pois 0,4 está entre 0 e 0,7.

Resposta

c

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