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Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Exercício 371234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363839404142434445464748495051

Enunciado

Álgebra linear I, USP, P2, 2016, Questão 4

Considere a reta

r : x - 1 = y - 1 2 = z - 1 3

E os pontos A = ( 2 , - 1 , - 2 ) e B = 4,3 , 4 . Seja C = ( x 0 , y 0 , z 0 ) o ponto de r tal que os ângulos B A ^ C e A B ^ C sejam congruentes. Temos que x 0 + y 0 + z 0 é igual a:

a ) 27 7 ;

b ) 17 7

c ) 7 9

d ) 16 7

e ) 6 7

Passo 1

Falaaa, beleza?? Bora lá começar mais uma questãozinha dessa prova.

Primeiro, para começarmos vamos transformar essa reta r na forma parametrizada, pois assim facilitará nossa vida, uma vez que C = ( x 0 , y 0 , z 0 ) ficará em função apenas de uma variável, bora lá fazer isso que ficará mais claro que facilitará.

Para parametrizar uma equação de reta que está da forma da questão, podemos tomar a seguinte estratégia:

x - 1 = y - 1 2 = z - 1 3 = t  

Agora, olharemos para o primeiro e último termo, temos que:

x - 1 = t ∴ x = 1 + t

Olhando para o segundo e último:

y - 1 2 = t   ∴ y = 1 + 2 t

E para o último:

z - 1 3 = t   ∴ z = 1 + 3 t

Ou seja:

r :   x = 1 + t y = 1 + 2 t z = 1 + 3 t

Como C ∈ r , temos que C = 1 + t 0 , 1 + 2 t 0 , 1 + 3 t 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 )

Agora fica um pouco mais claro o motivo de fazermos isso?? Veja que se tivermos um ponto dessa reta, ele sairá em função apenas de um t e nosso objetivo será achar esse carinha.

Passo 2

Além da informação de C estar na reta temos uma informação sobre os ângulos. Como temos B A ^ C e A B ^ C congruentes, podemos dizer que:

B A ^ C = A B ^ C

Agora, veja que o enunciado nos fala sobre ângulos e pontos. Como podemos relacionar isso?? Para isso bora lembrar da ideia de vetores e produto interno, uma vez que pelos pontos conseguimos fazer aparecer vetores e usar a ideia do ângulo para aplicar produto interno.

Vamos usar que B A ^ C será o ângulo entre os vetores A B →   e A C → , analogamente, temos que A B ^ C

Será o ângulo entre os vetores B A → e B C → , ou seja, nossa ideia será usar esses vetores e produto interno, para isso vamos calcular esses caras:

A B → = B - A = 2,4 , 6

A C → = C - A = ( t 0 - 1 ,   2 t 0 + 2 ,   3 t 0 + 3 )

B C → = C - B = ( t 0 - 3 ,   2 t 0 - 2 ,   3 t 0 - 3 )

B A → =   - A B → = ( - 2 , - 4 , - 6 )

Agora, podemos aplicar o produto interno nos seguintes pares:

A B → , A C → =   A B →   A C → cos ⁡ θ B A → , B C → = B A →   B C → cos ⁡ θ

Veja que θ é igual pelo o que dizemos no parágrafo acima.

Agora bora calcular separadamente cada um desses produtos.

A B → , A C → = 2,4 , 6 , ( t 0 - 1 ,   2 t 0 + 2 ,   3 t 0 + 3 )

Usando o produto interno usual, temos que:

A B → , A C → = 28 t 0 + 24

Analogamente para o outro:

B A → , B C → = ( - 2 , - 4 , - 6 ) , ( t 0 - 3 ,   2 t 0 - 2 ,   3 t 0 - 3 )

Ou seja

B A → , B C → =   - 28 t 0 + 32

Passo 3

Agora vamos usar essas informações, olhando para os produtos internos, temos que:

A B → , A C →   A B →   A C → = cos ⁡ θ = B A → , B C → B A →   B C →    

Primeiro vamos notar que A B → = B A → , ou seja, podemos cortar:

A B → , A C →     A C → = B A → , B C →   B C →    

Agora, substituindo os valores:

28 t 0 + 24 t 0 - 1 2 + 2 t 0 + 2 2 + 3 t 0 + 3 2 = - 28 t 0 + 32 t 0 - 3 2 + 2 t 0 - 2 2 + 3 t 0 - 3 2

Abrindo isso:

28 t 0 + 24 14 t 0 2 + 24 t 0 + 14 = - 28 t 0 + 32 14 t 0 2 - 32 t 0 + 22

Elevando ao quadrado:

784 t 0 2 + 1344 t 0 + 576 14 t 0 2 + 24 t 0 + 14 = 784 t 0 2 - 1792 t 0 + 1024 14 t 0 2 - 32 t 0 + 22

Resolvendo isso:

784 t 0 2 + 1344 t 0 + 576 14 t 0 2 - 32 t 0 + 22 =

= 784 t 0 2 - 1792 t 0 + 1024 14 t 0 2 + 24 t 0 + 14  

Aqui, para nossa alegria, conseguimos ver que alguns caras vão se cancelar dos dois lados.

Veja que os termos elevados a quarta, a terceira e elevados a dois se cancelam, sobrará:

11648 t 0 = 1664

Ou seja

t 0 = 1 7

Passo 4

E era isso que buscamos desde o começo, bora voltar para a expressão do valor de C .

C = 1 + t 0 , 1 + 2 t 0 , 1 + 3 t 0 = x 0 , y 0 , z 0

Substituindo

x 0 , y 0 , z 0 = 1 + 1 7 , 1 + 2 7 , 1 + 3 7  

Ou seja:

x 0 + y 0 + z 0 = 3 + 6 7 = 27 7

Resposta

Letra A

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