Considere as retas e .
- Determine a posição relativa entre e .
- Calcule o cosseno do ângulo entre e .
- Escreva uma equação vetorial para a reta que passa por e é perpendicular à . (Bônus: determine
Passo 1
- Dá pra gente ver de cara que elas não são paralelas, tá ligado? Então a gente tem que decidir se são concorrentes ou reversas. Pra isso, a gente faz o produto misto dos vetores diretores e de um vetor que liga dois pontos, um em cada reta. Se der zero, é porque os três estão no mesmo plano, então elas são concorrentes. Caso contrário, elas são reversas! Então bora lá, os nossos vetores vão ser:
- Falou em ângulo, falou em produto escalar!
- Não sabemos em que ponto a reta corta a reta . Vamos chamar de esse ponto. Sabemos uma parametrização para esse ponto pela equação de :
E um vetor que liga dois pontos, um em cada reta:
O produto misto deles é:
Como deu diferente de zero, as retas são reversas!
Passo 2
Esse módulo aparece no numerador porque estamos interessados no ângulo agudo, então temos que garantir que o cosseno é positivo!
Passo 3
Queremos que seja perpendicular ao diretor de , e portanto, vamos usar o produto escalar e igualar a zero!
Portanto, . Portanto, a equação vetorial de vai ser:
Bônus: a interseção é:
Resposta
- As retas são reversas.
- , .