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Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

UFPE – Geometria Analítica – 2018.2 – P2 – Questão 2

Considere as retas s : X = λ ( - 2 ,   - 3 ,   2 ) e l : X = 1,1 , 0 + λ ( 0,1 , 1 ) .

  1. Determine a posição relativa entre s e l .
  2. Calcule o cosseno do ângulo θ entre s e l .
  3. Escreva uma equação vetorial para a reta r que passa por Q = ( 2,3 , - 2 ) e é perpendicular à l . (Bônus: determine r ⋂ l )

Passo 1

  1. Dá pra gente ver de cara que elas não são paralelas, tá ligado? Então a gente tem que decidir se são concorrentes ou reversas. Pra isso, a gente faz o produto misto dos vetores diretores e de um vetor que liga dois pontos, um em cada reta. Se der zero, é porque os três estão no mesmo plano, então elas são concorrentes. Caso contrário, elas são reversas! Então bora lá, os nossos vetores vão ser:

    2. u → = - 2 ,   - 3 ,   2

    v → = ( 0 ,   1 ,   1 )

    E um vetor que liga dois pontos, um em cada reta:

    w → = 1 ,   1 ,   0 - 0 ,   0 ,   0 = ( 1 ,   1 ,   0 )

    O produto misto deles é:

    - 2 - 3 2 0 1 1 1 1 0 = - 3 - 2 + 2 = - 3

    Como deu diferente de zero, as retas são reversas!

    Passo 2

  2. Falou em ângulo, falou em produto escalar!

    3. c o s θ = u → ⋅ v → u → v → = - 2 , - 3,2 ⋅ 0,1 , 1 17 ⋅ 2 = 1 34

    Esse módulo aparece no numerador porque estamos interessados no ângulo agudo, então temos que garantir que o cosseno é positivo!

    Passo 3

  3. Não sabemos em que ponto a reta r corta a reta l . Vamos chamar de L esse ponto. Sabemos uma parametrização para esse ponto pela equação de l :

L = 1 ,   1 + λ ,   λ

Queremos que Q L → seja perpendicular ao diretor de l , e portanto, vamos usar o produto escalar e igualar a zero!

Q L   → ⋅ 0,1 , 1 = 0

1 - 2 ,   1 + λ - 3 ,   λ - - 2 ⋅ 0,1 , 1 = 0

- 1 ,   λ - 2 , λ + 2 ⋅ 0 ,   1 ,   1 = 0

λ - 2 + λ + 2 = 0

λ = 0

Portanto, Q L → = ( - 1 , - 2 ,   2 ) . Portanto, a equação vetorial de r vai ser:

X = Q + λ Q L →

r :   X = 2 ,   3 , - 2 + λ ( - 1 ,   - 2 ,   2 )

Bônus: a interseção L é:

L = 1 ,   1 + λ ,   λ = ( 1 ,   1 ,   0 )

Resposta

  1. As retas são reversas.
  2. c o s θ = 1 34
  3. r :   2 ,   3 , - 2 + λ ( - 1 ,   - 2 ,   2 ) , r ⋂ l = ( 1 ,   1 ,   0 ) .

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