Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Considere os vetores u → unitário e v → com norma 2 que formam um ângulo θ tal que cos ⁡ θ = 1 3 . Calcule

a) 2 u → - 3 v →

b) u → ∧ v →

Passo 1

a) Antes de qualquer coisa, vamos calcular o produto escalar u → . v → , assim ó:

u → . v → = u → . v → . cos ⁡ θ

u → . v → = 1.2 . 1 3 = 2 3

Além disso, o ângulo θ entre u → e v → é dado por

θ = arccos ⁡ 1 3

θ ≅ 70,5 °

Beleza, agora vamos seguir em frente hehe

Passo 2

Queremos encontrar 2 u → - 3 v → , mas sabemos que

2 u → - 3 v → 2 = 2 u → - 3 v → . ( 2 u → - 3 v → )

Fazendo a distributiva:

2 u → - 3 v → 2 = 4 . u → . u → - 6 . u → . v → - 6 . v → . u → + 9 . v → . v →

2 u → - 3 v → 2 = 4 . | u → | ² - 12 . u → . v → + 9 . | v → | ²

2 u → - 3 v → 2 = 4 . 1 2 - 12   . 2 3   + 9 . 2 ²

2 u → - 3 v → 2 = 4 - 8 + 36 = 32

A gente encontrou 2 u → - 3 v → 2 . Agora pra encontrar 2 u → - 3 v → é só a gente jogar raíz quadrada dos dois lados fechou?

2 u → - 3 v → = 32

Passo 3

b) A fórmula pra calcular u → ∧ v → é

u → ∧ v → = u → . v → . sen ⁡ θ

Vamos substituir os valores:

u → ∧ v → = 1 . 2 . sen ⁡ 70,5 °

u → ∧ v → = 1,88

Resposta

a) 2 u → - 3 v → = 32

b) u → ∧ v → = 1,88

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