No espaço dos polinômios de grau menos ou igual a 2, considere o produto interno definido como p , q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1 . O cosseno do ângulo entra os polinômios x + 1 e x 2 é:

(a) 2 5

(b) 2 5

(c) 5 2

(d) 5 5

Passo 1

Nossa fórmulinha para o cosseno é:

cos ⁡ θ = v , u u v

Sendo que u = u , u e v = v , v .

Vamos substituir os polinômios no lugar de u   e v e vamos usar essa fórmula para o produto interno.

Passo 2

cos ⁡ θ = v , u u v

Vamos encontrar a parte de cima:

p , q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1

p , q = x + 1 , x 2 = 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0 + 2 ∙ 1 = 2

Agora os módulos:

p , p = x + 1 , x + 1 = 0 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 2 ∙ 2 = 5

p = p , p = 5

q , q = x 2 , x 2 = 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 + 1 ∙ 1 = 2

q = q , q = 2

Aí é só juntar tudo na fórmula:

cos ⁡ θ = v , u u v = 2 5 2 = 4 10 = 2 5

Resposta

b

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