Sejam uma base ortonormal positiva, , , , e um ponto qualquer no espaço.
a) Sabendo que e . Mostre que , e são vértices de um triângulo.
b) Determine o ângulo . Esse é um ângulo agudo ou obtuso?
c) Mostre que .
d) Determine o vetor projeção ortogonal .
e) Determine .
f) Considere os pontos , e tais que e . Determine os valores de para que a área do triângulo seja 5.
Passo 1
a) Bom, analisando os vetores do enunciado, vemos que e não são paralelos, pois um não é múltiplo do outro certo?
Logo, e não estão na mesma reta que .
Como esses 3 pontos não são colineares, eles são vértices de um triângulo :)
Passo 2
b) Para encontrarmos esse ângulo, vamos usar o produto interno:
Como o cosseno de é menor que 0, o ângulo é obtuso (lembrando do círculo trigonométrico).
Passo 3
c) Para que e sejam perpendiculares, o produto interno entre eles deve dar 0, vamos verificar :D
Boaa, então eles são perpendiculares simmm!
Passo 4
d) A projeção ortogonal de em é dada assim:
Substituindo os vetores:
Passo 5
e) O produto vetorial pode ser dado pelo determinante:
Logo, as coordenadas desse produto vetorial são:
Passo 6
f) Vamo lá, a área de um triângulo é metade da área do paralelogramo, ou seja:
De acordo com o enunciado, os vetores podem ser escritos assim:
Do item, anterior, a gente tem que esse produto vetorial é dado por:
Mas queremos que essa área seja 5, então:
Resposta
a) Demonstração
b)
c) Demonstração.
d)
e)
f)