Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

Ver Teoria
Exercício 171234567891011121314151618192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051

Enunciado

UFPE, PF-2019.2

Considere em P 3 os polinômios p t = 3 + 2 t + t 2 e q t = 1 + 3 t - 2 t 3 . Em relação ao produto interno usual de P 3 , a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 ,   b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + b 3 t ³ = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .

  1. Calcule p ,   q .
  2. Calcule a distância entre p   e q , ou seja p - q .
  3. Determine o ângulo entre p e q .

Passo 1

Belezoca galerinha, na letra (a) ele pediu pra gente calcular o produto interno entre p e q , dados que:

p t = 3 + 2 t + t 2 ,     q t = 1 + 3 t - 2 t 3

E o produto interno está definido como:

a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 ,   b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + b 3 t ³ = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

Logo para os nossos polinômios, temos que:

3 + 2 t + t 2 ,   1 + 3 t - 2 t 3 = 3 1 + 2 3 + 1 0 + 0 - 2

3 + 2 t + t 2 ,   1 + 3 t - 2 t 3 = 3 + 6 + 0 + 0

3 + 2 t + t 2 ,   1 + 3 t - 2 t 3 = 9

Passo 2

E pra calcular a distância entre p - q , usamos a relação:

p - q = p - q ,   p - q

Logo temos que:

p - q = 3 + 2 t + t 2 - 1 + 3 t - 2 t 3

p - q = 2 - t + t ² + 2 t 3

Portanto, nossa distância será:

p - q = 2 - t + t 2 + 2 t 3 ,   2 - t + t ² + 2 t 3

p - q = 2 2 + - 1 2 + 1 2 + 2 ²

p - q = 4 + 1 + 1 + 4

p - q = 10

Passo 3

Belezera, agora para calcular o ângulo entre os polinômios, usamos a relação:

cos ⁡ θ = p ,   q p q

Logo, resolvendo os produtos internos, temos que:

p ,   q = 9

p = p ,   p = 3 2 + 2 2 + 1 2 + 0 2 = 14

q = q ,   q = 1 2 + 3 2 + 0 2 + - 2 2 = 14

Portanto:

cos ⁡ θ = 9 14 14

cos ⁡ θ = 9 14

θ = arccos ⁡ 9 14

Resposta

  1. p ,   q = 9
  2. p - q = 10 .
  3. θ = arccos ⁡ 9 14

Exercícios de Livros Relacionados

Considere R 2 ,R 3 e R 4 com o produto interno euclidiano. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre u e v . u = 1 , - 3 , v = 2,4 u = - 1,0 , v = 3,8 u = - 1,5 , 2 , v = 2,4 , - 9 u = 4,1 , 8
13. Quais as condições devem satisfazer a e b para que a matriz a + b b - a a - b b + a seja ortogonal?
Dizemos que um operador matricial R 2 é rígido se mantiver o comprimento dos vetores, e preserva ângulo se não mudar o ângulo entre vetores não nulos.(a) Dê o nome de dois tipos distindos de operadore
O resultado do Exercício 15 tem um análogo para matrizes ortogonais 3 × 3 , como segue. Pode ser provado que a multiplicação ortogonal A de tamanho 3 × 3 é uma rotação em torno de algum eixo se d e t
7. Repita o Exercício 6 com theta = (pi)/(3) .