Se em relação a uma base ortonormal u → = - 1 ,   2 ,   - 3 , v → = ( - 2 ,   m ,   1 ) e w → = ( 3 ,   m ,   - m ) , determine o valor de m tal que v → seja ortogonal a w → e forme ângulo agudo com u → .

Passo 1

Primeira coisa que a gente vai usar é essa ortogonalidade de v → e w → . Se eles são ortogonais, o produto escalar é zero!

v → ⋅ w → = 0

- 2 ,   m ,   1 ⋅ 3 ,   m ,   - m = 0

- 6 + m 2 - m = 0

m 2 - m - 6 = 0

Resolvendo essa equação, vamos encontrar m = 3 ou m = - 2 .

Passo 2

Beleza, vamos usar a outra informação agora! Ele diz que o ângulo entre v → e u → é agudo. O que lembra ângulo aqui em geometria analítica? Isso aí, produto escalar!

u → ⋅ v → = u → v → c o s θ

c o s θ = u → ⋅ v → u → v →

Como ele diz que o ângulo é agudo, c o s θ > 0 , e portanto, u → ⋅ v → > 0 .

u → ⋅ v → = - 1 ,   2 ,   - 3 ⋅ - 2 ,   m ,   1 > 0

2 + 2 m - 3 > 0

2 m > 1

m > 1 2

Mas dos valores que a gente achou no passo 1 , só o m = 3 serve! Então beleza, achamos o valor que queríamos!

Resposta

m = 3

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