Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

Ver Teoria
Exercício 491234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647485051

Enunciado

UFPE – Geometria Analítica – 2019.2 – P1 – Questão 2

Sejam u → e v → dois vetores e sejam x → = u → - v → e y → = 2 u → + v → . Se u → = 2 e v → = 3 e  n g u → , v → = 60 ° , calcule:

  1. O produto interno x → ⋅ y → ;
  2. O ângulo entre os vetores y → e v → .

Passo 1

  1. Pra calcular produto interno não tem pra onde fugir! É só calcular mesmo que vai dar bom!

    2. x → ⋅ y → = u → - v → ⋅ 2 u → + v →

    x → ⋅ y → = ( 2 u → ⋅ u → + u → ⋅ v → - 2 v → ⋅ u → - v → ⋅ v → )

    Vamos lembrar de duas propriedades:

    u → ⋅ u → = u → 2

    u → ⋅ v → = v → ⋅ u →

    Substituindo isso aí em cima, vamos obter:

    x → ⋅ y → = 2 u 2 - u → ⋅ v → - v 2

    Agora é conta!

    x → ⋅ y → = 2 2 2 - 2 ⋅ 3 ⋅ c o s 60 ° - 3 2

    x → ⋅ y → = 8 - 3 - 9

    x → ⋅ y → = - 4

    Passo 2

  2. Falou em ângulo, falou em produto escalar!

y → ⋅ v → = y → v → c o s θ

2 u → + v → ⋅ v → = y → ⋅ v → c o s θ

O lado esquerdo da equação fica assim:

2 u → + v → ⋅ v → = 2 u → ⋅ v → + v → 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ c o s 60 ° + 3 2

2 u → + v → ⋅ v → = 15

E o módulo de y → a gente calcula assim:

y → 2 = 2 u → + v → 2 = 2 u → + v → ⋅ 2 u → + v →

y → 2 = 4 u → 2 + 4 u → ⋅ v → + v → 2

y → 2 = 4 2 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ c o s 60 ° + 3 2 = 37

| y → | = 37

Então, substituindo...

15 = 37 ⋅ 3 ⋅ c o s θ

c o s θ = 5 37

Resposta

  1. x → ⋅ y → = - 4
  2. c o s θ = 5 37

Exercícios de Livros Relacionados

Considere R 2 ,R 3 e R 4 com o produto interno euclidiano. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre u e v . u = 1 , - 3 , v = 2,4 u = - 1,0 , v = 3,8 u = - 1,5 , 2 , v = 2,4 , - 9 u = 4,1 , 8
13. Quais as condições devem satisfazer a e b para que a matriz a + b b - a a - b b + a seja ortogonal?
Dizemos que um operador matricial R 2 é rígido se mantiver o comprimento dos vetores, e preserva ângulo se não mudar o ângulo entre vetores não nulos.(a) Dê o nome de dois tipos distindos de operadore
O resultado do Exercício 15 tem um análogo para matrizes ortogonais 3 × 3 , como segue. Pode ser provado que a multiplicação ortogonal A de tamanho 3 × 3 é uma rotação em torno de algum eixo se d e t
7. Repita o Exercício 6 com theta = (pi)/(3) .