No paralelepípedo da figura, u → = 1 , v → = 2 , w → = 3 , A n g u → ,   v → = 60 ° . Calcule o comprimento da diagonal desse paralelepípedo que tem origem em P .

Passo 1

A diagonal desse paralelepípedo com origem em P vai ser esse vetor vermelho que vamos chamar de d → :

Esse vetor d → é dado por u → + v → + w → certo?

Então para acharmos o comprimento da diagonal, precisamos encontrar | u → + v → + w → | .

Vamos fazer isso encontrando | u → + v → + w → | ² e depois tirando a raíz quadrada do resultado :)

Passo 2

Vamos fazer os cálculos então:

u → + v → + w → 2 = u → + v → + w → . ( u → + v → + w → )

Fazendo a distributiva:

u → + v → + w → 2 = u → . u → + u → . v → + u → . w → + v → . u → + v → . v → + v → . w → + w → . u → + w → . v → + w → . w →

Agrupando os vetores e aplicando a definição de produto interno (vamos lembrar que o ângulo entre u → e w → é o mesmo entre v → e w → ok?):

u → + v → + w → 2 = u → 2 + 2 . u → . v → . cos ⁡ 60 ° + 2 . u → . w → . cos ⁡ 90 ° + v → 2 + 2 . v → . w → . c o s 60 ° + w → 2

Vamos substituir os valores:

u → + v → + w → 2 = 1 2 + 2 . 1 . 2 . 1 2 + 2 . 1 . 3 . 0 + 2 2 + 2 . 2 . 3 . 1 2 + 3 2

u → + v → + w → 2 = 22

d → = u → + v → + w → 2 = 22

Resposta

d → = 22

Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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