12. Um bloco de massa m 1 = 1,6   k g movimenta-se sobre um trilho horizontal sem atrito com velocidade v → 1 = 4,0   i ^   ( m / s ) . Em um dado instante, ele colide com uma mola leve (de massa desprezível), de constante elástica k = 600   N / m , conectada a um bloco de massa m 2 = 2,1   k g , que se move com velocidade v 2 =   2,5   i ^   ( m / s ) . Sabe-se que na máxima compressão da mola ( ∆ x m a x ) , os blocos têm a mesma velocidade. O valor da máxima compressão da mola, em centímetros, é dada por:

Passo 1

A moda agora é a questão 12, galerinha!

Mais uma questãozinha sobre momento aí pra gente resolver!

E essa questãozinha é quase igual às questões 10 e 11, que já tratamos de resolver. A única diferença é o sentido das velocidades antes da colisão.

Das questões anteriores, a gente sabe que a força externa resultante no sistema (devido à soma vetorial da força da gravidade e da força normal em cada um dos bloco) é nula, afinal o bloco não sai voando por aí né!? Sendo assim, durante a colisão atuam apenas forças internas ao sistema. Pelo que podemos classificá-lo como um sistema bem isolado.

E se falou em sistema isolado, então, podemos utilizar a conservação do momento linear do sistema durante todo o processo de colisão e com isso determinar a velocidade v do sistema depois da colisão, já que as massa ficam unidas pela mola.

Passo 2

Pois vamos lá! Apliquemos a conservação do momento linear:

P → a n t e s = P → d e p o i s

m 1 v → 1 i + m 2 v → 2 i = m 1 v → + m 2 v →

m 1 v → 1 i + m 2 v → 2 i = ( m 1 + m 2 ) v →

Isolando a velocidade final do sistema formado pelos dois blocos, que é o que estamos procurando:

( m 1 + m 2 ) v → = m 1 v → 1 i + m 2 v → 2 i

v → = m 1 v → 1 i + m 2 v → 2 i m 1 + m 2

Passo 3

E do exercício anterior, também sabemos que se o sistema é bem isolado, quer dizer que além do momento linear, a energia também se conserva!

A máxima compressão da mola ( ∆ x m a x ) pode ser determinada por conservação da energia mecânica do sistema uma vez que a força da mola é uma força conservativa.

Antes da colisão, o único tipo de energia presente era a cinética. Depois da colisão, além da energia cinética resultante da união dos dois blocos, teremos também a presença de energia potencial elástica, que é devido a compressão da mola quando os blocos ficam quase grudados.

Sendo assim, vamos ajustar a equação de energia, que vai ficar com a seguinte cara:

E a n t e s = E d e p o i s

1 2 m 1 v 1 i 2 + 1 2 m 2 v 2 i 2 = 1 2 m 1 v 2 + 1 2 m 2 v 2 + U e l á s t i c a

1 2 m 1 v 1 i 2 + 1 2 m 2 v 2 i 2 = 1 2 m 1 v 2 + 1 2 m 2 v 2 + 1 2 k x m a x 2

k x m a x 2 = m 1 v 1 i 2 + m 2 v 2 i 2 - ( m 1 + m 2 ) v 2

x m a x = m 1 v 1 i 2 + m 2 v 2 i 2 - ( m 1 + m 2 ) v 2 k

Passo 4

Agora, vamos determinar o valor de v   através da fórmula abaixo:

v → = m 1 v → 1 i + m 2 v → 2 i m 1 + m 2

Do enunciado, sabemos que:

m 1 = 1,6   k g m 2 = 2,1   k g v 1 i = 4,0   i ^   ( m / s ) v 2 i = 2,5     i ^   ( m / s )

E então, substituindo esses valores acima, chegamos ao seguinte resultado para v → 2 f :

v → = m 1 v → 1 i + m 2 v → 2 i m 1 + m 2

v → = ( 1,6 ) ( 4,0   i ^   ) + ( 2,1 ) ( 2,5   i ^   ) 1,6 + 2,1

v → = 11,65 3,7   i ^     ( m / s )

v → = 3,148   i ^     ( m / s )  

v = 3,148   m / s

Com isso, temos que a compressão da mola será igual à:

x m a x = m 1 v 1 i 2 + m 2 v 2 i 2 - ( m 1 + m 2 ) v 2 k

x m a x = ( 1,6 ) 4,0 2 + ( 2,1 ) 2,5 2 - ( 3,7 ) ( 3,148 ) 2 600

x m a x = 5,857   c m

Pronto! Missão cumprida!

Terminamos aqui!

Bora pra próxima!

Resposta

x m a x = 5,857   c m

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