Q 2 – Um bloco de inércia m 1 se desloca com velocidade v 1 i e atinge uma mola que esta presa a um segundo bloco de inércia m 2 que tem velocidade v 2 i . A inércia da mola é desprezível em relação às outras inércias. A mola é comprimida e depois volta a sua posição normal sem dissipar energia.

( a ) Quais são as velocidades finais dos dois blocos?

( b ) Que fração f da energia cinética inicial o bloco 1 perde?

( c ) No caso particular onde V 2 i = 0 , faça o gráfico da fração f versus m 2 / m 1 e comente as situações para m 1 < m 2 , m 1 = m 2 e m 1 > m 2 .

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para esse problema teremos que usar a conservação de momento e de energia cinética.

O enunciado diz que a mola não dissipa energia, e como ela é comprida e depois volta a posição normal podemos desconsiderar a energia potencial da mola.

Passo 2

Item ( a ) .

Da conservação do momento temos que:

m 1 v 1 i + m 2 v 2 i = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f

⇒ m 1 v 1 i - v 1 f = m 2 ( v 2 f - v 2 i )

Da conservação de energia temos:

m 1 v 1 i 2 2 + m 2 v 2 i 2 2 = m 1 v 1 f 2 2 + m 2 v 2 f 2 2

⇒ m 1 v 1 i 2 - v 1 f 2 = m 2 v 2 f 2 - v 2 i 2

Passo 3

Dividindo o que encontramos da conservação de energia pelo o que encontramos da conservação de momento, temos:

v 1 i 2 - v 1 f 2 v 1 i - v 1 f = v 2 f 2 - v 2 i 2 v 2 f - v 2 i

⇒ v 1 i + v 1 f v 1 i - v 1 f v 1 i - v 1 f = v 2 f + v 2 i v 2 f - v 2 i v 2 f - v 2 i

⇒ v 1 i + v 1 f = v 2 f + v 2 i

⇒ v 1 i - v 2 i = v 2 f - v 1 f

Passo 4

Agora vamos pegar o que encontramos no final do passo anterior e isolar v 2 f , assim temos:

v 2 f = v 1 i + v 1 f - v 2 i

Substituindo no que encontramos na conservação do momento, temos:

m 1 v 1 i - v 1 f = m 2 ( v 2 f - v 2 i )

⇒ m 1 v 1 i - v 1 f = m 2 ( v 1 i + v 1 f - v 2 i - v 2 i )

⇒ v 1 f m 1 + m 2 = v 1 i m 1 - m 2 + v 2 i ( 2 m 2 )

⇒ v 1 f = v 1 i   m 1 - m 2 m 1 + m 2 + v 2 i 2 m 2 m 1 + m 2

Fazendo o mesmo raciocínio para acharmos v f 2 , temos:

v 2 f = v 1 i   2 m 1 m 1 + m 2 + v 2 i m 2 - m 1 m 1 + m 2

Passo 5

Item ( b ) .

Agora vamos ver a fração f de energia que o bloco 1 perde, essa fração é dada por:

f = - Δ K 1 K 1

Onde Δ K 1 é a variação da energia cinética do bloco 1 , então temos que:

Δ K 1 = m 1 ( v 1 f 2 - v 1 i 2 ) 2

Assim temos que:

f = - m 1 ( v 1 f 2 - v 1 i 2 ) 2 m 1 v 1 i 2 2

= - ( v 1 f 2 - v 1 i 2 ) v 1 i 2

Com isso temos que:

f = 1 - v 1 f v 1 i 2

Substituindo com a expressão que temos para v 1 f , temos:

f = 1 - m 1 - m 2 m 1 + m 2 + 2 m 2 m 1 + m 2 v 2 i v 1 i 2

Passo 6

Item ( c ) .

Agora para o caso em que v 2 i = 0 , temos que:

f = 1 - m 1 - m 2 m 1 + m 2 2

Assim o gráfico de f versus m 2 / m 1 fica da seguinte forma:

Olhando o gráfico vemos que para m 1 = m 2 , onde temos f = 1 , o bloco perde toda a energia cinética.

Então o lado esquerdo do gráfico do ponto 1 temos que m 1 > m 2 com isso o bloco perde velocidade, mas não inverte o sentido, mas para o lado direito do gráfico do ponto 1 temos que m 1 < m 2 , assim o bloco perde velocidade e inverte sua velocidade.

Resposta

( a )

v 1 f = v 1 i   m 1 - m 2 m 1 + m 2 + v 2 i 2 m 2 m 1 + m 2

v 2 f = v 1 i   2 m 1 m 1 + m 2 + v 2 i m 2 - m 1 m 1 + m 2

( b )

f = 1 - m 1 - m 2 m 1 + m 2 + 2 m 2 m 1 + m 2 v 2 i v 1 i 2

( c )

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