Um bloco de massa está em equilíbrio preso a uma mola ideal, de constante elástica , inicialmente em sua posição relaxada, como mostra a figura. Uma bala de massa com velocidade horizontal de módulo colide com esse bloco de modo que a bala retorna após a colisão no sentido oposto com velocidade de módulo .

Considere que: a colisão é instantânea; que a mola é ideal; que a resistência do ar é desprezível; e que a gravidade tem módulo conhecido.

Determine, em função dos dados do problema:

a) a velocidade do bloco de massa imediatamente após a colisão.

b) a compressão máxima da mola.

c) a razão para que a colisão seja elástica.

A mola não está no sistema, mas ela está relaxada, então ela não exerce nenhuma força no sistema. Ou seja, não tem nenhuma força externa atuando no nosso sistema: podemos aplicar a conservação do momento linear:

e sendo os momentos lineares logo antes e logo depois da colisão, respectivamente.

Em módulo, temos

A bala tem massa e velocidade inicial de módulo , enquanto o bloco tem massa mas está parado.

Vamos definir o sentido de (pra direita) como positivo. Então o momento linear total do sistema bala+bloco logo antes da colisão, em módulo, é:

Logo após a colisão, a bala volta com velocidade de módulo no sentido oposto, então sua velocidade agora é negativa. E o bloco vai ter a velocidade , que é justamente o que a gente quer achar!

Então o módulo do momento linear total do sistema logo após a colisão é:

Voltando pra equação da conservação do momento linear:

b)

Agora a mola vai entrar na jogada!

De novo vamos usar o fato da colisão ser instantânea. Logo após a colisão, a bala já não encosta mais no bloco, então podemos considerar agora o sistema bloco+mola, show?

As forças atuando no sistema são a força peso do bloco e a força elástica da mola, e ambas são conservativas! Então no trajeto do bloco comprimindo a mola até parar podemos usar a conservação da energia mecânica .

Sendo agora o momento inicial logo após a colisão e o momento final quando a compressão da mola é máxima e o bloco para, temos:

Não vamos lidar com energia potencial gravitacional, porque tanto o bloco quanto a mola estão no nível do chão. Então temos a energia cinética e a energia potencial elástica , e a equação fica:

Mas logo depois da colisão, o bloco ainda não comprime a mola, então a energia potencial elástica inicial é nula:

E no fim do movimento o bloco para, então sua energia cinética final também é nula:

Então a equação ficou:

Melhor né? :)

Como já vimos, logo depois da colisão o bloco tem uma velocidade . Então sua energia cinética inicial é:

Sendo a compressão máxima da mola que queremos achar, a energia potencial elástica final é dada por:

Ou seja, a equação ficou

Vamos ajeitar isso aí! Multiplicando dos dois lados por 2 e dividindo por , fica:

Então essa é a compressão máxima da mola!

c)

Agora voltamos a falar da colisão entre a bala e o bloco, então vamos voltar pro sistema bala+bloco, ok?

Agora a colisão é elástica, então a energia cinética é conservada!

Antes da colisão, o bloco está parado, então a energia cinética total do sistema bala+bloco é a energia cinética da bala .

Depois da colisão, a velocidade da bala é e a do bloco é . Então a energia cinética final do sistema é .

Logo, a equação de conservação da energia cinética é:

Vamos multiplicar tudo por 2 e substituir :

Podemos dividir tudo por , aí sobra:

Então pra colisão ser elástica, devemos ter .