Duas bolas e , de massas e diferentes, colidem elasticamente. Inicialmente a bola tem velocidade , onde é uma constante positiva, e a bola está em repouso. Após a colisão a bola passa a se mover com velocidade , na direção perpendicular à direção do movimento inicial. Considere o plano da colisão como sendo horizontal e despreze as forças de atrito.

(a) Faça um esboço dos vetores velocidades das bolas e após a colisão, indicando o sistema de coordenadas e os ângulos envolvidos.

(b) Escreva o sistema de equações que a partir do qual é possível determinar a direção e a magnitude da velocidade da bola após a colisão. Justifique cada uma destas equações.

(c) Determine o ângulo entre e a direção .

(d) Determine o vetor e seu módulo em função de .

Na letra (b), queremos as equações que precisamos para descobrir .

Vamos trabalhar com duas ideias!

A primeira delas é o seguinte, como o plano é horizontal (força peso e normal se anulam) e não há força de atrito, temos que o sistema está livre da ação de forças externas.

Assim, podemos dizer que o momento linear do sistema se conserva:

Podemos abrir esses vetores nas componentes em e em e escrever que os momentos lineares se conservam nas duas direções:

Já a segunda ideia vem de que a colisão é elástica.

Em uma colisão é elástica, a energia cinética do sistema se conserva, portanto:

Agora vamos escrever cada uma daquelas equações.

Vamos começar com o momento linear.

Na horizontal:

Inicialmente, temos:

Como o módulo da velocidade de é , temos:

Para escrever os momentos em cada direção, vamos decompor a velocidade de após a colisão:

Já o momento linear final na horizontal será:

Conservando o momento linear na horizontal, temos:

Na vertical:

Inicialmente, o momento linear em é nulo:

Já após a colisão, temos:

Conservando o momento linear na vertical, temos:

Agora, vamos usar a conservação da energia cinética:

A energia cinética leva em consideração apenas o módulo da velocidade e não a sua direção.

Inicialmente, temos apenas a energia cinética da bola :

Já no final, temos tanto a energia cinética da bola quanto a da :

Conservando a energia cinética, ficamos com:

Pronto, conseguimos nossa terceira equação e ficamos com um sistema assim:

Na letra (c), queremos achar o ângulo .

Para isso, vamos trabalhar com o nosso sisteminha.

Como, inicialmente só estamos interessados no ângulo . Um bom macete para relacionar uma expressão com seno e a outra com cosseno é dividindo uma pela outra.

Então, dividindo a segunda equação pela primeira :

Podemos cortar todas as massas e velocidades:

Ou seja, será o arco cuja tangente vale :

Na letra (d), queremos tanto o vetor velocidade da bola , quanto seu módulo.

Voltando o nosso sisteminha:

Como queremos achar , vamos usar qualquer outro parâmetro menos ele para substituir de uma equação para outra.

Podemos por exemplo isolar na primeira e substituir na terceira :

Substituindo isso na terceira equação, temos:

Cortando :

Cortando um dos termos de e :

Porém, só queremos em função de . Então, temos que dar um jeito de tirar esse daí.

Vamos tentar usar a relação que achamos para :

Para encontrar esse , vamos usar a relação fundamental:

Dividindo tudo por , conseguimos relacionar a tangente com o cosseno:

Substituindo o valor que achamos para tangente, temos:

Vamos aproveitar essa trigonometria para achar o seno também, pois vamos precisar disso na hora de escrever o vetor :

Substituindo o valor de cosseno na expressão de , ficamos com:

Achamos o módulo, agora só falta escrever o vetor :