Dois objetos se encontram sobre uma superfície horizontal sem atrito. Um objeto de 2,50 kg de massa colide elasticamente com outro de 3,60 kg que, inicialmente, está em repouso. O objeto mais leve possui, após a colisão, uma rapidez de 4,00 m/s e se move formando um ângulo em relação à sua direção original; o objeto mais pesado possui uma rapidez de 2,50 m/s e se move formando um ângulo , conforme é mostrado na figura.
(a) Explique se o momento do objeto mais leve se conserva ou não.
(b) Determine a rapidez inicial do objeto mais leve.
(c) Calcule os ângulos e
Passo 1
Vamos começar pelo item (a). Para entendermos se o momento do objeto mais leve se conserva ou não, vamos analisa-lo.
O momento linear de objeto mais leve antes da colisão é:
Após a colisão temos:
Isso acontece por que o vetor da velocidade final pode ser decomposto tanto no eixo x quanto no eixo y.
A partir disso, podemos que concluir que o momento inicial é diferente do vetor momento final. Logo, concluímos que o momento do objeto mais leve não se conversa.
Passo 2
Vamos determinar agora o pedido pelo item (b): a velocidade inicial do objeto mais leve.
Sabemos que a colisão ocorre num sistema isolado e, portanto, o momento total desse sistema, que é formado pelos dois objetos, se conserva:
Sabemos também que a colisão é elástica e isso significa que a energia cinética do sistema se
conserva. Assim, podemos montar, lembrando que a velocidade inicial do objeto 2 é nula:
Como temos:
Podemos manipular essa equação e descobrir :
Passo 3
No item (c), são pedidos os valores dos ângulos e :
Podemos enunciar novamente a equação da conservação do momento linear do sistema:
Como temos componentes das velocidades finais tanto no eixo x quanto no eixo y, podemos escrever a equação de conservação do momento linear para cada eixo:
Para o eixo x, temos:
Para o eixo y, temos:
Vamos manipular essas duas equações montadas para cada eixo a fim de descobrirmos os valores dos ângulos:
Da equação do eixo x, podemos escrever:
Da equação do eixo y, podemos escrever:
Agora, vem uma parte mais chatinha. Vamos elevar ao quadrado as duas equações e soma-las.
Mas, por que isso?
Porque temos aquela identidade antiga de
E colocando ao quadrado, temos grandes chances de utiliza-la.
Show!
Vamos lá!
Colocamos ao quadrado cada equação e, em seguida, somamos:
Show! Agora que somamos, viu a utilidade do quadrado?
Podemos aplicar a identidade e deixar a equação bem mais simples:
Agora temos uma única incógnita, o . Podemos manipular:
Como já temos todos esses valores:
Podemos substituir:
Só falta acharmos agora:
Uma boa saída é voltarmos com a equação:
Manipulando:
Sabemos que
Substituindo os valores, chegamos a:
Ufa! Essa questão era realmente cansativa!
Resposta
- momento do objeto mais leve não se conversa.
e