Exercícios Resolvidos de Equação modular

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Enunciado

Escreva as seguintes expressões sem utilizar sinais do valor absoluto, separando em dois ou mais casos quando for necessário.

x - 3 - 2

Passo 1

Vamos começar usando a definição do módulo em x

x - 3 = x - 3 , x - 3 ≥ 0 - x - 3 , x - 3 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 3 ≥ 0

x ≤ 3

E

x - 3 < 0

x < 3

Resultando em

x - 3 = x - 3 , x ≥ 3 - x - 3 , x < 3

x - 3 = x - 3 , x ≥ 3 - x + 3 , x < 3

Assim, vamos ter

x - 3 - 2 = x - 3 - 2 , x ≥ 3 - x + 3 - 2 , x < 3

x - 3 - 2 = x - 5 , x ≥ 3 - x + 1 , x < 3

Precisamos agora, analisar cada um daqueles módulos separadamente

Passo 2

Vamos para o primeiro módulo x - 5

x - 5 = x - 5 , x - 5 ≥ 0 - x - 5 , x - 5 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 5 ≥ 0

x ≥ 5

E

x - 5 < 0

x < 5

Resultando em

x - 5 = x - 5 , x ≥ 5 - x - 5 , x < 5

x - 5 = x - 5 , x ≥ 5 - x + 5 , x < 5

Passo 3

Vamos para o segundo módulo - x + 1

- x + 1 = - x + 1 , - x + 1 ≥ 0 - - x + 1 , - x + 1 < 0

- x + 1 ≥ 0

1 ≥ x

Invertendo essa desigualdade

x ≤ 1

E

- x + 1 < 0

1 < x

Invertendo essa desigualdade

x > 1

Resultando em

- x + 1 = - x + 1 , x ≤ 1 - - x + 1 , x > 1

- x + 1 = - x + 1 , x ≤ 1 x - 1 , x > 1

Passo 4

Vamos agora juntar todos esses módulos

x - 3 - 2 = x - 5 , x ≥ 5 - x + 5 , x < 5 , x ≥ 3 - x + 1 , x ≤ 1 x - 1 , x > 1 , x < 3

Para organizar essa bagunça, vamos juntar os intervalos

x - 3 - 2 = x - 5 , x ≥ 3   e   x ≥ 5 - x + 5 , x ≥ 3   e   x < 5 - x + 1 , x < 3   e   x ≤ 1 x - 1 , x < 3   e   x > 1

Terminando de organizar

x - 3 - 2 = x - 5 , x ≥ 5 - x + 5 , 5 > x ≥ 3 - x + 1 , x ≤ 1 x - 1 , 1 < x < 3

Deixando na ordem, vamos achar o resultado final

x - 3 - 2 = x - 5 , x ≥ 5 - x + 5 , 3 ≤ x < 5 x - 1 , 1 < x < 3 - x + 1 , x ≤ 1

Resposta

x - 3 - 2 = x - 5 , x ≥ 5 - x + 5 , 3 ≤ x < 5 x - 1 , 1 < x < 3 - x + 1 , x ≤ 1

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