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Exercícios Resolvidos de Equação modular

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Enunciado

Resolva em R as seguintes equações

c) x + 1 + x - 2 = 1

d) x + 1 + x - 2 = 5

Passo 1

Precisamos fazer os dos módulos e ver como será a expressao, primeiro vamos pegar x + 1

x + 1 = x + 1 , x + 1 ≥ 0 - x + 1 , x + 1 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x + 1 ≥ 0

x ≥ - 1

E

x + 1 < 0

x < - 1

Resultando em

x + 1 = x + 1 , x ≥ - 1 - x + 1 , x < - 1

x + 1 = x + 1 , x ≥ - 1 - x - 1 , x < - 1

Passo 2

Vamos para o segundo módulo x - 2

x - 2 = x - 2 , x - 2 ≥ 0 - x - 2 , x - 2 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 2 ≥ 0

x ≥ 2

E

x - 2 < 0

x > 2

Resultando em

x - 2 = x - 2 , x ≥ 2 - x - 2 , x < 2

E vamos ter

x - 2 = x - 2 , x ≥ 2 - x + 2 , x < 2

Passo 3

Vamos agora juntar todos esses módulos

Temos que olhar os intervalos primeiro, para entendermos como vai ficar

x ≥ - 1 x < - 1       e       x ≥ 2 x < 2

Então, no fundo temos

Fazendo a soma, vamos ter

x + 1 + x - 2 = x + 1 + x - 2 , x ≥ 2 x + 1 + - x + 2 , - 1 ≤ x < 2 - x - 1 + - x + 2 , x < - 1

Vai ficar

x + 1 + x - 2 = 2 x - 1 , x ≥ 2 x + 1 - x + 2 , - 1 ≤ x < 2 - x - 1 - x + 2 , x < - 1

x + 1 + x - 2 = 2 x - 1 , x ≥ 2 3 , - 1 ≤ x < 2 - 2 x + 1 , x < - 1

Vamos ter 3 equações para resolver em cada letra.

Passo 4

Começando com a letra c

Com x ≥ 2

2 x - 1 = 1

2 x = 2

x = 1

Mas esse valor está fora do intervalo, então ele não será solução

Passo 5

Com - 1 ≤ x < 2

3 = 1

O que não é possível, então não temos nenhuma solução aqui também

Passo 6

Com x < - 1

- 2 x + 1 = 1

- 2 x = 0

x = 0

Mas esse valor está fora do intervalo, então ele não será solução

Isso vai nos dizer que não temos nenhuma solução para essa equação modular

Passo 7

Agora para a letra d

Com x ≥ 2

2 x - 1 = 5

2 x = 6

x = 3

Opa, esse valor está no nosso intervalo, então teremos

x 1 = 3

Passo 8

Com - 1 ≤ x < 2

3 = 5

O que não é possível, então não temos nenhuma solução aqui também

Passo 9

Com x < - 1

- 2 x + 1 = 5

- 2 x = 4

x = 4 - 2

x = - 2

Opa, esse valor está no nosso intervalo, então teremos

x 2 = - 2

Nossas soluções serão

x 1 = 3

x 2 = - 2

Resposta

Letra c ) Não tem solução, logo S = ∅

Letra d )

x 1 = 3

x 2 = - 2

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