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Exercícios Resolvidos de Equação modular

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Enunciado

Resolva em R as seguintes equações

x - 1 - 2 x - 2 + 3 x - 3 = 4

Passo 1

Precisamos fazer os três módulos, primeiro vamos pegar x - 1

x - 1 = x - 1 , x - 1 ≥ 0 - x - 1 , x - 1 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 1 ≥ 0

x ≥ 1

E

x - 1 < 0

x < 1

Resultando em

x - 1 = x - 1 , x ≥ 1 - x - 1 , x < 1

x - 1 = x - 1 , x ≥ 1 - x + 1 , x < 1

Passo 2

Vamos para o segundo módulo x - 2

x - 2 = x - 2 , x - 2 ≥ 0 - x - 2 , x - 2 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 2 ≥ 0

x ≥ 2

E

x - 2 < 0

x > 2

Resultando em

x - 2 = x - 2 , x ≥ 2 - x - 2 , x < 2

E vamos ter

x - 2 = x - 2 , x ≥ 2 - x + 2 , x < 2

Passo 3

Vamos para o terceiro módulo x - 3

x - 3 = x - 3 , x - 3 ≥ 0 - x - 3 , x - 3 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 3 ≥ 0

x ≥ 3

E

x - 3 < 0

x > 3

Resultando em

x - 3 = x - 3 , x ≥ 3 - x - 3 , x < 3

E vamos ter

x - 3 = x - 3 , x ≥ 3 - x + 3 , x < 3

Passo 4

Vamos agora juntar todos esses módulos

Temos que olhar os intervalos primeiro, para entendermos como vai ficar

x ≥ 1 x < 1       e       x ≥ 2 x < 2       e       x ≥ 3 x < 3

Então, no fundo temos

Fazendo a expressão, vamos ter

x - 1 - 2 x - 1 + 3 x - 3 = x - 1 - 2 x - 2 + 3 x - 3 , x ≥ 3 x - 1 - 2 x - 2 + 3 - x + 3 , 2 ≤ x < 3 x - 1 - 2 - x + 2 + 3 - x + 3 , 1 ≤ x < 2 - x + 1 - 2 - x + 2 + 3 - x + 3 , x < 1

Vai ficar

x - 1 - 2 x - 1 + 3 x - 3 = x - 1 - 2 x + 4 + 3 x - 9 , x ≥ 3 x - 1 - 2 x + 4 + - 3 x + 9 , 2 ≤ x < 3 x - 1 + 2 x - 4 + - 3 x + 9 , 1 ≤ x < 2 - x + 1 + 2 x - 4 - 3 x + 9 , x < 1

x - 1 - 2 x - 1 + 3 x - 3 = 2 x - 6 , x ≥ 3 - 4 x + 12 , 2 ≤ x < 3 4 , 1 ≤ x < 2 - 2 x + 6 , x < 1

Temos 4 equações, um para cada caso

Passo 5

Com x ≥ 3

2 x - 6 = 4

2 x = 4 + 6

2 x = 10

x = 5

Esse valor está no intervalo, então

x 1 = 5

Passo 6

Com 2 ≤ x < 3

- 4 x + 12 = 4

- 4 x = 4 - 12

- 4 x = - 8

x = - 8 - 4

x = 8 4

x = 2

Esse valor está no intervalo, então

x 2 = 2

Passo 7

Com 1 ≤ x < 2

4 = 4

Opa, mas isso é verdade sempre. Então aqui teremos o nosso intervalo

1,2

Passo 8

Com x < 1

- 2 x + 6 = 4

- 2 x = 4 - 6

- 2 x = - 2

x = - 2 - 2

Esse valor está no intervalo, então

x 3 = 1

Passo 9

Juntando tudo, vamos ter

x 1 = 5

x 2 = 2

1,2

x 3 = 1

Isso vai ser o intervalo de 1 a 2 , incluindo ambos os valores e também o valor x = 5

1,2 ∪ 5

Resposta

1,2 ∪ 5

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