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Exercícios Resolvidos de Equação modular

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Enunciado

Prove a seguinte propriedade

x y = x y ,     ∀ x ∈ R

Passo 1

Para mostrar isso, vamos analisar cada um desses módulos, primeiro x

x = x , x ≥ 0 - x , x < 0

Agora y

| y | = y , y ≥ 0 - y , y < 0

Para terminar x y

| x y | = x y , x y ≥ 0 - x y , x y < 0

Temos que analisar o produto em 2 intervalos,

x y ≥ 0

x y < 0

Vamos tirar o x y = 0 , isso porque se x y = 0 , vamos ter que x ou y será 0 .

Assim

x y = 0 = 0

x y = 0 a l g u é m = 0

Então, vai ser verdadeiro.

Vamos separar só para trabalharmos só com números com sinais direitinho

x y > 0

x y < 0

Passo 2

Vamos começar com

x y > 0

Isso nos diz que

x > 0     e     y > 0

Ou

x < 0     e     y < 0

Se tivermos x > 0     e     y > 0 , vamos ter

x = x

y = y

Então

x y = x y

Se tivermos x < 0     e     y < 0 , vamos ter

x = - x

y = - y

Então

x y = - x - y = x y

Vamos ter, se x y > 0 então x y = x y

Passo 3

Vamos para

x y < 0

Isso nos diz que

x > 0     e     y < 0

Ou

x < 0     e     y > 0

Se tivermos x > 0     e     y < 0 , vamos ter

x = x

y = - y

Então

x y = x - y = - x y

Se tivermos x < 0     e     y > 0 , vamos ter

x = - x

y = y

Então

x y = - x y = - x y

Vamos ter, se x y < 0 então x y = - x y

Passo 4

Pelo que vimos nos últimos dois passos, vamos ter

x y = x y , x y > 0 - x y , x y < 0

Comparando com x y

| x y | = x y , x y > 0 - x y , x y < 0

Vamos ter que ambas as expressões são iguais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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