Exercícios Resolvidos de Equação modular

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Enunciado

Resolva em R as seguintes equações

x - 1 . x + 2 = 3

Passo 1

Precisamos fazer os dos módulos, primeiro vamos pegar x - 1

x - 1 = x - 1 , x - 1 ≥ 0 - x - 1 , x - 1 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x - 1 ≥ 0

x ≥ 1

E

x - 1 < 0

x < 1

Resultando em

x - 1 = x - 1 , x ≥ 1 - x - 1 , x < 1

Estamos deixando os parênteses para facilitar o produto lá na frente.

Passo 2

Vamos para o segundo módulo x + 2

x + 2 = x + 2 , x + 2 ≥ 0 - x + 2 , x + 2 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x + 2 ≥ 0

x ≥ - 2

E

x + 2 < 0

x < - 2

Resultando em

x + 2 = x + 2 , x ≥ - 2 - x + 2 , x < - 2

Estamos deixando os parênteses para facilitar o produto lá na frente.

Passo 3

Vamos agora juntar todos esses módulos

Temos que olhar os intervalos primeiro, para entendermos como vai ficar

x ≥ 1 x < 1       e       x ≥ - 2 x < - 2

Então, no fundo temos

Fazendo o produto, vamos ter

x - 1 . x + 2 = x - 1 x + 2 , x ≥ 1 - x - 1 x + 2 , - 2 ≤ x < 1 - x - 1 - x + 2 , x < - 2

Vamos ter 2 casos para resolver, isso porque a primeira e última equações serão iguais.

Passo 4

Com x ≥ 1 ou x < - 2

x - 1 x + 2 = 3

x 2 + 2 x - x - 2 = 3

x 2 + x - 5 = 0

Resolvendo, vamos ter

x = - 1 ± 1 2 - 4 1 - 5 2.1

x = - 1 ± 1 + 20 2

x = - 1 ± 21 2

x 1 = - 1 + 21 2

E

x 2 = - 1 - 21 2

Repara que x 1 vai ser maior que 1 e x 2 vai ser menor que 4 , isso porque 21 vai ser maior que 4 , afinal ela é maior que 16 .

Se colocássemos 4 nas raízes, iriamos achar x 1 = 3 2 e x 2 = - 5 2

Essas suas são valores bem próximos do real, então eles estão no nosso intervalo.

Passo

Vamos para o segundo intervalo - 2 ≤ x < 1

- x + 2 x - 1 = 3

Assim, passando aquele para a direita, vamos ter

x + 2 x - 1 = - 3

x 2 + x - - 3

x 2 + x + 1 = 0

Resolvendo, vamos ter

x = - 1 ± 1 2 - 4 1 1 2.1

x = - 1 ± 1 - 4 2.1

x = - 1 ± - 3 2.1

Opa, temos a raiz de um número negativo. Então não temos solução real.

AS nossas únicas soluções são aqueles x 1 E x 2 que achamos no outro passo.

Resposta

x 1 = - 1 + 21 2

x 2 = - 1 - 21 2

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